Справочный материал к заданию

1. Теорема о почленном интегрировании степенного ряда: если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то последовательность интегралов от частичных сумм ряда сходится к интегралу от суммы ряда. Т.о., для абсолютно сходящегося в интервале х  (x₀ – R; x₀ – R) степенного ряда = S(x), где R – радиус сходимости ряда, справедливо почленное интегрирование по переменной x на отрезке [a; b]  (x₀ – R; x₀ – R): = + + + + … = .

2. Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда: если степенной ряд S(x) = = a₀ + a₁·(x – x₀) + a₂·(x – x₀)² + … + a_n·(x – x₀)ⁿ + … имеет радиус сходимости R, то ряд S (x) = = a₁ + 2a₂·(x – x₀) + … + na_n·(x – x₀)^n–1 + …, получаемый в результате почленного дифференцирования исходного ряда, также имеет радиус сходимости R.

3. Ряд Тейлора: если функция y = f(x) имеет в точке х = х₀ и некоторой ее окрестности производные любого порядка (т.е. в окрестности точки х = х₀ функция f(x) дифференцируема бесконечное число раз), то степенной ряд = f(x₀) + f (x₀)·(x – x₀) + + … + + … называется рядом Тейлора для функции f(x).

4. Разложимость функции f(x) в ряд Тейлора: если для всех х окрестности точки x = x₀ ряд Тейлора сходится и его сумма равна f(x), то функция f(x) называется разложимой в ряд Тейлора в окрестности точки x = x₀ по степеням x – x₀.

5. Теорема об условии разложимости функции f(x) в ряд Тейлора: для того, чтобы функция y = f(x) была разложима в ряд Тейлора в окрестности точки x = x₀, необходимо и достаточно, чтобы = = 0, где R_n(x) – остаточный член, который стремится к 0 быстрее, чем |x – x₀|ⁿ, т.е. R_n(x) = (|x – x₀|ⁿ); в форме Лагранжа R_n(x) = ,   (x₀; x).

Остаточный член R_n(x) разложимой в ряд Тейлора функции f(x) определяет погрешность определения значения этой функции в точке х при замене ряда на частичную сумму S_n(x) = . Как ранее было отмечено (см. «Свойства сходящихся числовых рядов»), в случае, если числовой ряд знакочередующийся, то эта погрешность по модулю не превышает значения модуля первого из отбрасываемых членов ряда, т.е. при заданном значении x = для знакочередующегося ряда Тейлора |R_n( )|  .

6. Ряд Маклорена функции f(x) – частный случай ряда Тейлора в случае, когда x₀ = 0, т.е. в окрестности точки x = 0 разложение функции f(x) в ряд Маклорена имеет вид следующего степенного ряда: f(x) = .

7. Теорема о единственности разложения функции в ряд Маклорена: если внутри интервала x  (– R; R) функция f(x) представима сходящимся к этой функции степенным рядом: f(x) = а₀ + a₁·x + a₂·x² + a₃·x³ + …, то этот степенной ряд – ряд Маклорена.

8. Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

1. е^х = 1 + х + + +…+ +…, п = 0, 1, 2,…; x  (–∞; + ∞).

2. е^–х = 1 – х + – + … + (–1)^п· + …, п = 0, 1, 2,…; x  (–∞; + ∞).

3. sin x = х – + – + … + (–1)ⁿ· + …, п = 0, 1, 2,…; x  (–∞; + ∞).

4. cos x = 1 – + – + … +(–1)ⁿ· + …, п = 0, 1, 2,…; x  (–∞; + ∞).

5. (1 + х)^а = 1 + ах + х² + х³ + …; x  (–1; 1).

6. ln(1 + x) = x – + – + …+ (–1)^n–1· + …, n = 1, 2,…; x  (–1; 1].

7. ln(1 – x) = – x – – – – …–· – …, n = 1, 2,…; x  [–1; 1).

8. tg x = x + ·x ³ + ·x ⁵ + ·x ⁷ + ·x ⁹ + …; x  (– /2; /2).

9. arc sin x = x + ·x ³ + ·x ⁵ + … + ·x ²ⁿ⁺¹ + …; x  (–1; 1).

10. arc cos x = /2 – arc sin x; x  (–1; 1).

11. arc tg x = x – + – + … + (–1)ⁿ· + …, n = 0, 1, 2,…; x  (–1; 1).

12. arc ctg x = /2 – arc tg x; x  (–1; 1).

Примечание. Приведенные ряды Маклорена можно использовать в случае, если аргументом этих функций является некоторая элементарная функция g(x) такая, что = 0. В этом случае ряд Маклорена по степеням x: f(x) = f(0) + f (0)·x + + + … + + … = а₀ + a₁·x + a₂·x² + a₃·x³ + …+ a_n·xⁿ + … с радиусом сходимости R (т.е. ряд сходится к функции f(x) для всех x, для которых |x| < R ), будет иметь вид функционального ряда (ряда Маклорена по степеням аргумента): f(g(x)) = а₀ + a₁·g(x) + a₂·g²(x) + a₃·g³(x) + …+ a_n·gⁿ(x) + …, при этом радиус сходимости этого ряда к функции f(g(x)) определяется из условия: |g(x)| < R. Например, рассмотрим такой способ разложения в ряд Маклорена функции cos . Используем табличное разложение косинуса переменной х: cos x = 1 – + – + … +(–1)ⁿ· + … Выполняем подстановку вместо х, получаем степенной ряд: cos = 1 – + – + … +(–1)ⁿ· + … =

1 – + – + … +(–1)ⁿ· + …, который в силу теоремы о единственности разложения в ряд Маклорена и будет искомым разложением в ряд Маклорена по степеням х. Поскольку ряд Маклорена для функции cos x сходится в интервале |x| < +, то полученный ряд Маклорена для функции cos будет сходиться в интервале | | = < + , что соответствует интервалу 0  x < + .

9. Нахождение определенного интеграла с помощью степенных рядов: если подынтегральная функция f(x) разложима в ряд Маклорена (в общем случае, в ряд Тейлора), который сходится к этой функции во всех точках интервала интегрирования [a; b], то значение определенного интеграла можно найти с любой заданной точностью почленным интегрированием ряда Маклорена подынтегральной функции: погрешность найденного значения не будет превышать величины .

10. Применение степенных рядов для решения дифференциальных уравнений: решение, например, уравнения y  = f(x, y) при начальном условии y(x₀) = y₀ можно найти в виде степенного ряда вида y(x) = a₀ + a₁·(x – x₀) + a₂·(x – x₀)² + … + a_n·(x – x₀)ⁿ + … Коэффициенты {a_n} вычисляются по результату подстановки этого ряда в заданное дифференциальное уравнение путем приравнивания коэффициентов при равных степенях (x – x₀), т.е. методом неопределенных коэффициентов. При нахождении y (x) следует использовать теорему о почленном дифференцировании степенного ряда.

В случае x₀ = 0, т.е. при начальном условии y(0) = y₀, решение уравнения y  = f(x, y) следует находить в виде степенного ряда: y(x) = a₀ + a₁·x + a₂·x ² + … + a_n·x ⁿ + … или в виде ряда Маклорена: y(x) = y(0) + y (0)·x + + … + + … Коэффициенты в этом ряде Маклорена определяются по начальному условию и по результатам последовательного дифференцирования обеих частей исходного дифференциального уравнения.