Тема 6: «Интегрирование и дифференцирование степенных рядов»

Теоретический минимум

1. Интегрирование степенного ряда.

2. Дифференцирование степенного ряда.

3. Ряды Тейлора и Маклорена.

4. Применение степенных рядов для нахождения определенного интеграла.

5. Применение степенных рядов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Задание № 7

Используя разложение функций в ряд Маклорена: 1) найти приближенное значение определенного интеграла по первым четырем отличным от нуля членам его разложения в степенной ряд; 2) найти четыре первых отличных от нуля члена степенного ряда, определяющего частное решение y = y(x) дифференциального уравнения y = f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y(0) = y₀:

Номер варианта	Интеграл	Дифференциальное уравнение y = f(x, y)	Начальное условие
1		y = 1+ x – 3·sin2x + 2y²	y(0) = 1
2		y = cosx + y²	y(0) = – 1
3		y = 9e^–^x + 3x – y³	y(0) = 3
4		y = 2e^y + xy	y(0) = 0
5		y = ln(1 + x) – y²	y(0) = 2
6		y = – 0,25y²	y(0) = 4
7		y = 2·cosx – xy²	y(0) = 1
8		y = e^– 2^x – x² – 2y²	y(0) = – 2
9		y = e^x + y²	y(0) = 1
10		y = cos2x + 2xy²	y(0) = – 1
11		y = ln(1 + 2x) – y + y²	y(0) = 3
12		y = – xy²	y(0) = 1
13		y = sin2x – y³	y(0) = 2
14		y = e^x + 3x³y²	y(0) = 4
15		y = 4·arctgx – 12y²	y(0) = – 0,5
16		y = sinx + y²	y(0) = 0,5
17		y = sin4x – x²y + y³	y(0) = 1
18		y = 0,5·e^– 2^x + 0,25y⁴	y(0) = – 2
19		y = e²^x + ln(1 + y)	y(0) = 0
20		y = x + cos – ·y³	y(0) = 2
21		y = 2·e^–^y – xy	y(0) = 0
22		y = 2· – ·y	y(0) = 9
23		y = x² + e^–^x – y²	y(0) = 1
24		y = sinx + 3y²	y(0) = – 1
25		y = x + x² + e^– 3^x + y