Примеры выполнения задания № 6

1^. Найти радиус и интервал абсолютной сходимости данного степенного ряда, исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала и указать область сходимости ряда .

Решение.

1.1. Центр ряда х₀ = 1, выполняем замену переменной x – 1 = y, получаем ряд с нулевым центром.

Коэффициенты полученного ряда по модулю |a_n| = соответствуют случаю использования признака Коши для определения сходимости соответствующего числового ряда. Следовательно, радиус сходимости степенного ряда находим по формуле = = = = 2. Следовательно, ряд сходится абсолютно в интервале значений y  (– 2; 2). Возвращаемся к переменной х: из – 2 < y < 2, или – 2 < x – 1 < 2, или – 1 < x < 3 получаем: интервалом абсолютной сходимости ряда является х  (– 1; 3).

1.2. Исследуем сходимость ряда в граничных точках найденного интервала.

При y = 2 получаем числовой ряд = = 1 + + + + … Этот ряд является расходящимся гармоническим рядом, следовательно, в точке y = 2 ряд расходится.

При y = – 2 получаем числовой ряд = = 1 – + – + … Этот ряд является знакочередующимся с общим членом по модулю равным |u_n|= . Согласно критерию Лейбница в силу = = 0 и |u_n+1| = < |u_n| = этот ряд сходится. Следовательно, при y = – 2 степенной ряд сходится. Т.о., областью сходимости степенного ряда является y  [– 2; 2), и соответственно областью сходимости степенного ряда является х  [– 1; 3).

Ответ: областью сходимости степенного ряда является х  [– 1; 3).

2^. Найти радиус и интервал абсолютной сходимости данного степенного ряда, исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала и указать область сходимости ряда .

Решение.

2.1. Центр ряда х₀ = – 3, выполняем замену переменной x + 3 = y, получаем ряд с нулевым центром.

Коэффициенты полученного ряда по модулю |a_n| = соответствуют случаю использования признака Даламбера для определения сходимости соответствующего числового ряда. Следовательно, радиус сходимости степенного ряда находим по формуле = = . Поскольку согласно правилу Лопиталя = = = = 1, то R = = = + . Следовательно, ряд сходится абсолютно в интервале значений y  (– ; + ). Возвращаемся к переменной х: из –  < y < + , или –  < x + 3 < + , или –  < x < +  получаем: интервалом абсолютной сходимости ряда является х  (– ; + ).

2.2. Поскольку интервал сходимости рассматриваемого степенного ряда совпадает со всей числовой осью x, то искомая область сходимости ряда также определяется значениями х  (– ; + ).

Ответ: областью сходимости степенного ряда является х  (– ; + ).

3^. Найти радиус и интервал абсолютной сходимости данного степенного ряда, исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала и указать область сходимости ряда .

Решение.

3.1. Центр ряда х₀ = 0.

Коэффициенты полученного ряда по модулю |a_n| = соответствуют случаю использования признака Коши для определения сходимости соответствующего числового ряда. Следовательно, радиус сходимости степенного ряда находим по формуле = = = = 9. Следовательно, ряд сходится абсолютно в интервале значений x  (– 9; 9).

3.2. Исследуем сходимость ряда в граничных точках найденного интервала.

При x = 9 получаем числовой ряд = . Этот ряд является знакочередующимся с общим членом по модулю равным |u_n|= . Критерий Лейбница в силу = = 2 не выполняется, следовательно, степенной ряд в точке x = 9 расходится.

При x = – 9 получаем числовой ряд = = . Этот ряд является положительным с общим членом равным u_n = . Поскольку = = 2, то необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, следовательно, степенной ряд в точке x = – 9 расходится. Т.о., областью сходимости степенного ряда является х  (– 9; 9).

Ответ: областью сходимости степенного ряда является х  (– 9; 9).

4^. Найти радиус и интервал абсолютной сходимости данного степенного ряда, исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала и указать область сходимости ряда .

Решение.

4.1. Центр ряда х₀ = 2, выполняем замену переменной x – 2 = y, получаем ряд с нулевым центром.

Коэффициенты полученного ряда по модулю |a_n| = соответствуют случаю использования признака Коши для определения сходимости соответствующего числового ряда. Следовательно, радиус сходимости степенного ряда находим по формуле = = = = = 0. Поскольку радиус сходимости ряда равен 0, то этот ряд сходится только в своем центре, т.е. при y = 0. Возвращаемся к переменной х: из y = 0, или x – 2 = 0, или x = 2 получаем: ряд сходится только в своем центре, т.е. при x = 2, при этом его сумма будет равна 0.

Ответ: степенной ряд сходится только в точке х = 2.