Тема 5: «Степенные ряды»

Теоретический минимум

1. Понятие степенного ряда.

2. Радиус абсолютной сходимости степенного ряда.

3. Интервал сходимости степенного ряда.

4. Свойства сходящихся степенных рядов.

Задание № 6

Найти радиус и интервал абсолютной сходимости данного степенного ряда, исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала и указать область сходимости ряда:

Номер варианта	Степенной ряд	Номер варианта	Степенной ряд
1		14
2		15
3		16
4		17
5		18
6		19
7		20
8		21
9		22
10		23
11		24
12		25
13

Справочный материал к заданию

1. Степенной ряд – функциональный ряд вида: = = a₀ + a₁·(x – x₀) + a₂·(x – x₀)² + a₃·(x – x₀)³ + …, где постоянная величина x₀ называется центром ряда, постоянные a₀, a₁, a₂, a₃, … – коэффициентами ряда, u_n(x) = a_n·(x – x₀)ⁿ – общим членом ряда. Степенной ряд с нулевым центром (x₀ = 0) принимает вид многочлена бесконечного порядка переменой x: = = a₀ + a₁·x + a₂·x² + a₃·x³ + … При замене переменной х – х₀ = y степенной ряд с центром в точке х = х₀ преобразуется в степенной ряд с нулевым центром.

2. Сходимость степенного ряда в точке x = : при любом конкретном значении переменной x = степенной ряд превращается в числовой ряд ; Сумма степенного ряда в точке x = равна сумме числового ряда S( ) = . Если S( ) – конечное число (т.е. если числовой ряд сходится), то степенной ряд в точке x = сходится и его сумма равна S( ). Если сумма числового ряда S( ) =  (т.е. S( ) = + или S( ) = – ) или не определена, то степенной ряд в точке x = расходится. Если числовой ряд сходится абсолютно (т.е. сходится ряд ), то степенной ряд в точке x = сходится абсолютно. Любой степенной ряд сходится в точке х = 0 (ряд – в точке х = х₀), и сумма ряда в этой точке равна 0.

3. Теорема Абеля: если степенной ряд сходится при некотором x = , то он сходится абсолютно при всех значениях х, для которых |x| < | |, если же степенной ряд при x = расходится, то он расходится при всех значениях x, для которых |x| > | |.

4. Радиус сходимости степенного ряда – такое неотрицательное число R, что при |x| < R степенной ряд сходится, а при |x| > R – расходится; при x =  R сходимость ряда подлежит дополнительному исследованию. Для нахождения значения радиуса сходимости, как правило, используются формулы: , .

Примечание. Если степенной ряд содержит бесконечное множество коэффициентов, равных 0 (например, содержит только четные степени x), то формулу для нахождения радиуса сходимости ряда применять нельзя.

5. Интервал сходимости степенного ряда – множество всех значений x, для которых этот степенной ряд сходится: интервал сходимости обязательно включает в себя область абсолютной сходимости ряда – R < x < R, а также может включать одну или обе граничные точки x =  R.

Интервал абсолютной сходимости степенного ряда с радиусом сходимости R определяется соответственно системой неравенств: х₀ – R < x < x₀ + R, при этом в граничных точках x = x₀  R требуется дополнительное исследование этого степенного ряда на сходимость.

6. Свойства сходящихся степенных рядов:

• в любой замкнутой области, лежащей внутри интервала сходимости степенного ряда , сумма этого ряда является непрерывной функцией переменной х: = a₀ + a₁·x + a₂·x² + a₃·x³ + … = S(x).

• два сходящихся степенных ряда = a₀ + a₁·x + a₂·x² + a₃·x³ + … = S₁(x) (с радиусом сходимости R₁) и = b₀ + b₁·x + b₂·x² + b₃·x³ + … = S₂(x) (с радиусом сходимости R₂) можно складывать, перемножать и вычитать из одного другой: получаемый в результате этих арифметических операций степенной ряд также будет сходиться с радиусом сходимости R  min{R₁, R₂} и суммой, равной соответственно + = (a₀ + b₀) + (a₁ + b₁)·x + (a₂ + b₂)·x² + (a₃ + b₃)·x³ +…= S₁(x) + S₂(x); ( )·( ) = S₁(x)·S₂(x); – = (a₀ – b₀) + (a₁ – b₁)·x + (a₂ – b₂)·x² + (a₃ – b₃)·x³ + … = S₁(x) – S₂(x).

Примечание. Для нахождения коэффициентов ряда ( )·( ) при соответствующих степенях переменной x удобно пользоваться таблицей:

	b0	b1	b2	b3	…
a0	a0b0	a0b1	a0b2	a0b3	…
a1	a1b0	a1b1	a1b2	a1b3	…
a2	a2b0	a2b1	a2b2	a2b3	…
a3	a3b0	a3b1	a3b2	a3b3	…
…	…	…	…	…	…

Коэффициенты при степенях х произведения двух рядов будут определяться суммой парных произведений в клетках, расположенных вдоль диагоналей последовательно расширяющихся квадратов этой таблицы: свободный член ряда (коэффициент при x⁰) равен a₀b₀; коэффициент при x¹ равен (a₁b₀ + a₀b₁); коэффициент при x² равен (a₂b₀ + a₁b₁ + a₀b₂); коэффициент при x³ равен (a₃b₀ + a₂b₁ + a₁b₂ + a₀b₃) и т.д.