Примеры выполнения задания № 5

1^. Исследовать на сходимость указанные числовые ряды, подобрав для этого подходящий признак сходимости:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение.

1) Исследуем на сходимость числовой ряд .

1.1. Записываем несколько первых слагаемых этого ряда: = + + + +… Т.о., этот ряд положительный, общий член ряда u_n = n³/eⁿ – произведение степенной (n³) и показательной (e^{– n}) функций целочисленного аргумента n.

1.2. Проверяем выполнение необходимого признака сходимости. Для этого заменим целочисленный аргумент n функции u_n на непрерывную переменную х, и при нахождении предела используем формулу Лопиталя:

= = = = = = = = = 0, т.е. необходимый признак сходимости выполняется.

1.3. Учитывая характер функции u_n, в качестве достаточного признака сходимости используем признак Коши:

= = < 1. Согласно этому признаку данный числовой ряд сходится (при вычислении предела использовано: = 1, и, следовательно, = = ( )³ = 1).

Ответ: числовой ряд сходится.

2) Исследуем на сходимость числовой ряд .

2.1. Записываем несколько первых слагаемых этого ряда: = + + + + … Т.о., этот ряд положительный, общий член ряда u_n = –показательная функция дробно-рациональной функции целочисленного аргумента n.

2.2. Проверяем выполнение необходимого признака сходимости. Имеем: = = = (1^). Для раскрытия такой неопределенности воспользуемся формулой: u(n)^β(n) = (1^∞) = exp[ _{(β(n)·(u(n) – 1))}]. Получаем = exp[ _3n²_· ] = exp[ _3n²_· ] = exp[ _3n· ] = e^{– 3n} = 0, т.е. необходимый признак сходимости выполняется.

2.3. Учитывая характер функции u_n, в качестве достаточного признака сходимости используем признак Коши:

= = = (1^). Раскрываем эту неопределенность по формуле, приведенной в 2.2. Получаем: = = exp[ _3n· ] = exp[ _3n· ] = е^{– 3} < 1. Следовательно, согласно этому признаку данный числовой ряд сходится.

Ответ: числовой ряд сходится.

3) Исследуем на сходимость числовой ряд .

3.1. Записываем несколько первых слагаемых этого ряда: = + + + … Т.о., этот ряд положительный, общий член ряда u_n = – произведение обратной тригонометрической функции и дробно-рациональной функции целочисленного аргумента n.

3.2. Проверяем выполнение необходимого признака сходимости. Имеем: = = = 0, т.е. необходимый признак сходимости выполняется (при вычислении предела с учетом бесконечно малого аргумента арктангенса при n  + осуществлена замена этой функции на эквивалентную бесконечно малую: arc tg(1/(2n + 1)) ~ 1/(2n + 1)).

3.3. Поскольку после замены арктангенса на эквивалентную бесконечно малую общий член ряда u_n можно рассматривать как дробно-рациональную функцию, то в качестве достаточного признака сходимости используем предельный признак сравнения с гармоническим рядом.

При n  + имеем u_n = ~ = . Поскольку характер изменения знаменателя при n  +  определяется значением n³, то для сравнения в качестве гармонического ряда выбираем сходящийся ряд с общим членом v_n = . Имеем: = = = . Поскольку получено конечное значение предела, и ряд = сходится, то и ряд = сходится.

Ответ: числовой ряд сходится.

4) Исследуем на сходимость числовой ряд .

4.1. Записываем несколько первых слагаемых этого ряда: = + + + + … Т.о., этот ряд положительный, общий член ряда u_n = – произведение показательно-степенной функции (3n)ⁿ целочисленного аргумента n и функции факториала.

4.2. Проверяем выполнение необходимого признака сходимости. Имеем: = . Для вычисления предела удобно сначала использовать асимптотическое выражение факториала по формуле Стирлинга: для больших значений n правомерна эквивалентная замена n! ~ . Тогда = = = = = = + , т.е. необходимый признак сходимости не выполняется, и значит, исследуемый ряд расходится (при вычислении предела учтено, что: = 1, = 1).

Ответ: числовой ряд расходится.

2^. Исследовать на сходимость указанные числовые ряды, используя для этого подходящий достаточный признак сходимости (укороченная схема исследования сходимости числового ряда):

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение.

1) Используя подходящий достаточный признак сходимости, исследуем на сходимость числовой ряд .

Этот ряд положительный, общий член ряда u_n = содержит факториалы, поэтому в качестве достаточного признака сходимости используем признак Даламбера. Для этого сначала находим u_{n +1} = = .

Теперь находим предел: = = =

= = 0. Поскольку найденный предел меньше 1, то исследуемый ряд сходится.

Ответ: числовой ряд сходится.

2) Используя подходящий достаточный признак сходимости, исследуем на сходимость числовой ряд .

Этот ряд положительный, общий член ряда u_n = – иррациональная функция. Для исследования сходимости ряда попробуем использовать критерий Коши, т.е. находим предел = = =1, где использовано, что = 1. Т.о., признак Коши не дал ответа: ряд сходится или расходится.

Используем интегральный признак сходимости: общий член u_n = заменяем на функцию и исследуем на сходимость несобственный интеграл: = = – = . Поскольку несобственный интеграл сходится, то сходится и числовой ряд.

Ответ: числовой ряд сходится.

3) Используя подходящий достаточный признак сходимости, исследуем на сходимость числовой ряд .

Этот ряд положительный, общий член ряда u_n = – иррациональная функция. Поскольку в числителе и под корнем в знаменателе имеем многочлены, то используем предельный признак сравнения с гармоническим рядом. Имеем: u_n = = = . Так как характер изменения знаменателя при n  +  определяется значением 4n под корнем, то в качестве гармонического ряда для сравнения выбираем расходящийся ряд с общим членом v_n = .

Имеем: = = = .

Поскольку получено конечное значение предела, и ряд = расходится, то и ряд = расходится.

Ответ: числовой ряд расходится.

4) Используя подходящий достаточный признак сходимости, исследуем на сходимость числовой ряд .

Этот ряд положительный, общий член ряда u_n = – тригонометрическая функция. Аргумент синуса при любом значении n принимает значения в интервале (0; /4], поэтому справедливо неравенство < (при x > 0: sin x < x), а значит, и 2· < , что позволяет использовать признак сравнения рядов = и = . В свою очередь, ряд – бесконечная сходящаяся геометрическая прогрессия со знаменателем q = 1/4. В результате с учетом того, что u_n < v_n, ряд = тоже сходится.

Ответ: числовой ряд сходится.

3^. Исследовать на сходимость указанные числовые ряды, подобрав для этого подходящий признак сходимости:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение.

1) Исследуем на сходимость числовой ряд .

1.1. Записываем несколько первых слагаемых этого ряда: = – + – + … Т.о., этот ряд знакочередующийся, общий член ряда u_n = – произведение степенной (n^–1) и показательной (2^{– n}) функций целочисленного аргумента n.

Для исследования на сходимость этого ряда используем признак Лейбница, т.е. надо проверить выполнение необходимого признака сходимости числового ряда и установить выполнение неравенства |u_n+1| < |u_n|.

1.2. Проверяем выполнение необходимого признака сходимости: = 0, или, что равносильно, = 0.

Имеем: = = 0, т.е. необходимый признак сходимости выполняется.

1.3. Проверяем выполнение неравенства |u_n+1| < |u_n|. Полагаем, что выполняется: < , откуда следует: = < 1, что действительно имеет место для любого натурального n (произведение чисел, меньших 1, меньше 1). Т.о., условия признака Лейбница для ряда выполняются. Следовательно, этот ряд сходится.

Ответ: числовой ряд сходится.

2) Исследуем на сходимость числовой ряд .

2.1. Записываем несколько первых слагаемых этого ряда: = – + – + … Т.о., этот ряд знакочередующийся, общий член ряда u_n = – произведение степенной (n^–1) и степени логарифмической (ln^{– 4}(3n)) функций целочисленного аргумента n.

Для исследования на сходимость этого ряда используем признак Лейбница, т.е. надо проверить выполнение необходимого признака сходимости числового ряда и установить выполнение неравенства |u_n+1| < |u_n|.

2.2. Проверяем выполнение необходимого признака сходимости: = 0, или, что равносильно, = 0.

Имеем: = = 0 (учтено, что логарифмическая функция c основанием е – монотонно возрастающая), т.е. необходимый признак сходимости выполняется.

2.3. Проверяем выполнение неравенства |u_n+1| < |u_n|. Полагаем, что выполняется: < , откуда следует: = < 1, что действительно имеет место для любого натурального n (положительная степень положительного числа, меньшего 1, меньше 1; произведение чисел, меньших 1, меньше 1). Т.о., условия признака Лейбница для ряда выполняются. Следовательно, этот ряд сходится.

Ответ: числовой ряд сходится.

3) Исследуем на сходимость числовой ряд .

3.1. Записываем несколько первых слагаемых этого ряда: = – + – + … Т.о., этот ряд знакочередующийся, общий член ряда u_n = – произведение иррациональной ((2n + 3)^–1/5) и четной степени тригонометрической (sin²(1/n³)) функций целочисленного аргумента n.

Для исследования на сходимость этого ряда используем признак Лейбница, т.е. надо проверить выполнение необходимого признака сходимости числового ряда и установить выполнение неравенства |u_n+1| < |u_n|.

3.2. Проверяем выполнение необходимого признака сходимости: = 0, или, что равносильно, = 0.

Имеем: = = = 0 (учтено, что синус бесконечно малого аргумента можно заменить на эквивалентную бесконечно малую: sin(1/n³) ~ 1/n³, и, следовательно, sin²(1/n³) ~ 1/n⁶), т.е. необходимый признак сходимости выполняется.

3.3. Проверяем выполнение неравенства |u_n+1| < |u_n|. Полагаем, что выполняется: < , откуда следует: = < 1, что действительно имеет место для любого натурального n (обе дроби в выражении левой части неравенства меньше 1; произведение чисел, меньших 1, меньше 1). Т.о., условия признака Лейбница для ряда выполняются. Следовательно, этот ряд сходится.

Ответ: числовой ряд сходится.

4) Исследуем на сходимость числовой ряд .

4.1. Записываем несколько первых слагаемых этого ряда: = – + – + … Т.о., этот ряд знакочередующийся, общий член ряда u_n = – произведение степенной (n²) и тригонометрической ( ) функций целочисленного аргумента n.

Для исследования на сходимость этого ряда используем признак Лейбница, т.е. надо проверить выполнение необходимого признака сходимости числового ряда и установить выполнение неравенства |u_n+1| < |u_n|.

4.2. Проверяем выполнение необходимого признака сходимости: = 0, или, что равносильно, = 0.

Имеем: = = = 1 (учтено, что тангенс бесконечно малого аргумента можно заменить на эквивалентную бесконечно малую: tg(1/n²) ~ 1/n²) , т.е. необходимый признак сходимости не выполняется.

4.3. Покажем, что при этом выполняется неравенство |u_n+1| < |u_n|. Полагаем, что выполняется: < , откуда следует: < , что действительно имеет место для любого натурального n (значение тангенса приближается к значению своего уменьшающегося положительного малого аргумента, всегда превышая его, если значение аргумента отлично от 0). Поскольку необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, то, этот ряд расходится.

Ответ: числовой ряд расходится.