4.3. Інтерполяційні багаточлени Ньютона для рівновіддалених вузлів
Часто інтерполювання
проводиться для функцій, які задані
таблицями з рівновіддаленими значеннями
аргументу. В цьому випадку крок таблиці
є величиною сталою. Для таких таблиць
побудова інтерполяційних формул (як і
обчислення за цими формулами) суттєво
спрощується.
4.3.1. Скінченні різниці
Нехай функція задана таблицею з постійним кроком. Різниці між значеннями функції в сусідніх вузлах інтерполяції називаються скінченними різницями першого порядку:
.
Із скінченних різниць першого порядку утворюються скінченні різниці другого порядку
.
Продовжуючи цей процес, можна за заданою таблицею функції скласти таблицю скінченних різниць (табл. 1). Скінченні різниці будь-якого порядку можна представити через значення функції. Дійсно, для різниць першого порядку це випливає із визначення. Для різниць другого порядку маємо:
Аналогічно для різниць третього порядку:
і т.д.
Методом математичної індукції можна доказати, що
Таблиця 1. Скінченні різниці
-
x
y
Δyi
Δ2yi
Δ3yi
…
x0
y0
Δy0
Δy0
Δ3y0
x1
y1
Δy1
Δ2y1
Δ3y1
x2
y2
Δy2
Δ2y2
…
x3
y3
Δy3
…
x4
y4
…
…
…
4.3.2. Перша інтерполяційна формула Ньютона
Припустимо, для функції, заданої таблицею з постійним кроком, складена таблиця скінченних різниць (табл. 1). Будемо шукати інтерполяційний багаточлен у вигляді:
(7)
Це багаточлен n-го
степеня. Значення коефіцієнтів
можна знайти із умови збігу значень
вихідної функції та багаточлена у
вузлах. Вважаючи х
= х0,
з формули (7) находимо у0
= Рn(х0)
= а0,
звідки а0 =
у0.
Далі, надаючи х
значення х1
і х2,
послідовно отримуємо
звідки
тобто
,
або
,
звідки
Далі, виконавши аналогічні викладки, можна отримати
в загальному випадку вираз
для
буде мати вигляд:
(8)
Підставимо (8) у вираз для багаточлена (7)
Практично ця формула застосовується в дещо іншому вигляді.
Уведемо позначення
тобто
Тоді
і т.д.
Остаточно будемо мати:
(9)
Формула (9) називається першою інтерполяційною формулою Ньютона. Ця формула застосовується для інтерполювання на початку відрізку інтерполяції, коли t мало по абсолютній величині. Першу інтерполяційну формулу Ньютона називають за цією причиною формулою для інтерполювання вперед. За початкове значення х0 можна приймати будь-яке табличне значення аргументу х.