3.5. Метод ітерацій

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

(6)

Якщо всі діагональні коефіцієнти (і = 1, 2, …, n), то систему (6) можна подати в так званому приведеному вигляді

(7)

де

Введемо позначення

и перепишемо систему (7) у вигляді єдиного матричного рівняння

(8)

де добуток матриці а на вектор х.

Послідовні наближення (ітерації) знаходимо наступним чином. Візьмемо за початкове наближення х⁽⁰⁾ вектор β і підставимо його в праву частину (8); отримуємо х⁽¹⁾. Продовжуючи аналогічні обчислення, приходимо до векторної послідовності наближень

– перше наближення,

– друге наближення,

……………… (9)

– (k + 1)-е наближення.

……………………………………………

Якщо існує границя ξ послідовності векторів , то переходячи до границі в рівності при , переконуємося, що ξ є рішенням рівняння (8), тобто

Достатньою умовою збіжності ітерацій до рішення є наступна теорема.

Теорема. Якщо будь-яка норма матриці менше одиниці , то рівняння (8) має єдине рішення ξ, до якого прагне послідовність ітерацій при будь-якому виборі початкового наближення х⁽⁰⁾.

3.6. Метод Зейделя

Метод Зейделя є деякою модифікацією методу послідовних наближень. Знову розглянемо систему лінійних рівнянь (1) та еквіваленту їй приведену систему (7). При розв’язанні системи (7) методом простої ітерації кожний крок складається в переході від вже існуючого наближення значень невідомих до нового (чергового) наближення. В методі Зейделя при розрахунку (k + 1)-го наближення невідомого х_і враховуються вже знайдені раніше (k + 1)-е наближення невідомих х₁, х₂, …, х_n.

Для розв’язання системи (1) вибираємо довільне початкове наближення коренів і підставляємо в перше рівняння системи (1):

отримане перше наближення підставляємо до другого рівняння системи (7)

отримані перші наближення і підставляємо до третього рівняння системи (7)

і т. д. Нарешті

Аналогічно будують другі, треті і т. д. ітерації.

Таким чином, передбачаючи, що k-е наближення коренів відомі, за методом Зейделя будуємо (k + 1)-е наближення за наступними формулами

………………………………….

де

3.7. Метод Крамера розв’язання системи лінійних рівнянь

М аємо систему лінійних рівнянь (для спрощення візьмемо систему четвертого порядку)

Вводимо наступні позначення

Т ут D – визначник системи рівнянь, а D₁, D₂ , D₃ і D₄ – визначники, які утворюються при заміні стовпця коефіцієнтів при відповідному невідомому стовпцем вільних членів.

Якщо , то система лінійних рівнянь є визначеною, тобто має єдине рішення. Це рішення можна знайти за наступними формулами:

які називаються формулами Крамера.

9

ЛЕКЦІЯ № 3 (алгоритми та методи обчислень)