3.4. Метод Гауса

Найбільш відомим із точних методів розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь є метод виключення Гауса.

Більшість поширених точних методів можна розглядати як варіанти методу Гауса, які різняться між собою деякими деталями.

У загальному випадку система рівнянь, яка передбачається не виродженою, має вигляд:

(2)

Метод Гауса розв’язання системи (2) – це метод послідовного виключення невідомих. Суть його полягає в перетворенні системи (2) до еквівалентної системи, що має вигляд трикутної матриці (прямий хід), із якої потім послідовно (зворотним ходом) розраховують значення всіх невідомих.

Відмінність визначника системи від нуля є необхідною та достатньою умовою існування єдиного рішення системи (2). Якщо визначник системи дорівнює нулю, то система або не має рішення, або має безліч рішень.

Якщо визначник системи близький до нуля, кажуть, що система погано обумовлена. В подібному випадку знайти числове рішення системи важко, а його точність сумнівна.

Розглянемо загальну схему методу Гауса для систем, які мають єдине рішення.

Припустимо, що У протилежному випадку можна поміняти місцями перше рівняння з рівнянням, в якому коефіцієнт при х₁ відмінний від нуля. Розділимо перше рівняння (2) на а₁₁. Воно прийме вигляд

(3)

де

Помножимо рівняння (3) на а₂₁ і віднімемо отримане рівняння із другого рівняння системи (2). Аналогічно перетворимо інші рівняння. В результаті цих операцій система рівнянь набуде вигляду:

(4)

де …,

У випадку, коли деякий з коефіцієнтів виявиться рівним нулю, то j-е рівняння системи (2) увійде до системи (4) без зміни, тобто .

Тепер, залишивши без зміни перше рівняння системи (4), можна взяти за основу друге рівняння і застосувати описану процедуру до системи з (n – 1) рівнянь, виключивши невідоме х₂ з третього та наступних рівнянь. Отримаємо систему наступного вигляду

(4)

де ,

Продовжуючи аналогічні перетворення, приводимо матицю (2) до еквівалентної системи

(5)

в якій матриця із коефіцієнтів має трикутний вигляд.

На цьому прямий хід розв’язання системи лінійних рівнянь методом Гауса закінчується.

При оберненому ході відбувається послідовне виключення невідомого x_n , починаючи з (n – 1)-го рівняння. Отримуємо

Для зменшення похибки обчислень існують різні модифікації методу Гауса. Одна із модифікацій методу Гауса з вибором максимального елемента по стовпцю полягає в наступному.

На початку першого кроку прямого ходу серед коефіцієнтів а_і1 (і = 1, 2, …, n) при невідомому х₁ знаходять найбільший за модулем. Припустимо, що це а_j1. Після цього в системі рівнянь (2) виконують перестановку: перше рівняння ставлять на місце j-го, а j-е на місце першого. Далі обчислення проводять в послідовності, описаній вище.

На початку другого кроку прямого ходу максимальний за модулем елемент вибирають серед коефіцієнтів а_і2 (і = 2, 3, …, n) при невідомому х₂, знову можлива відповідна перестановка та виключення невідомого х₂, починаючи з третього рівняння, і аж до останнього кроку прямого ходу в методі Гауса.

Зауважимо, що процедура прямого ходу в методі Гауса може призвести не до трикутної матриці (5), а до двох випадків:

1) кількість перетворених рівнянь системи менше кількості невідомих (це відбувається, якщо в процесі перетворень отримується тотожність ) – тоді система має нескінченну множину рішень;

2) всі коефіцієнти при невідомих в якомусь рівнянні дорівнюють нулю, в той же час як вільний член рівняння відрізняється від нуля – тоді система не має рішення.