Приклади розв’язання задач

Приклад 10. Лампа з силою світла кд розташована на відстані м від книги. Освітленість книги лк. Під яким кутом світло падає на книгу? На якій висоті підвішена лампа над столом?

Розв’язання. Лампу будемо рахувати за точкове джерело світла, тому кут падіння світла можна знайти з формули освітленості:

Підставимо значення величин і отримаємо значення кута:

Висота лампи над столом:

м.

Приклад 11. Знайти число штрихів на 1 мм дифракційної решітки, якщо при нормальному падінні світла довжиною хвилі нм решітка дає перший максимум на відстані см від центрального. Відстань від решітки до екрану см.

Розв’язання. Число штрихів на 1 мм решітки знайдемо за формулою

де – період решітки.

Період решітки знайдемо за формулою умови максимуму:

де – кут, під яким спостерігають максимум; – порядок максимуму.

Для максимуму першого порядку кут малий, тому можна прийняти

Підставив у формулу для числа штрихів вираз для синуса кута, отримаємо:

мм^-1.

Приклад 12. Максимум енергії випромінювання абсолютно чор-ного тіла припадає на довжину хвилі мкм. Підрахувати енергетичну світність тіла, абсолютну температуру та енергію яка випромінюється з площі см² поверхні тіла за час хв. Знайти також масу, яка відповідає цієї енергії.

Розв’язання. Енергетична світність абсолютно чорного тіла знайдемо за формулою Стефана – Больцмана:

де – постійна Стефана – Больцмана;

Абсолютну температуру знайдемо з закону зміщення Віна:

де м К – постійна Віна; – довжина хвилі, на яку приходиться максимум випромінювання при температурі

Підставивши вираз для температури у формулу Стефана –

Больцмана, отримаємо:

Енергію, яка випромінюється з площі S поверхні тіла за 1хв, знайдемо за формулою

Дж.

Масу випромінювання знайдемо з закону Ейнштейна:

кг.

5. Завдання для самостійної роботи

5.1. Механіка

1.1. З башти висотою h = 50 м горизонтально кинули камінь зі швидкістю = 10 м/с. Протягом якого часу t* камінь буде у рухові? На якій відстані s від башти він упаде.

1.2. За час Δt = 1 хв автомобіль збільшив швидкість від = 10 м/с до = 72 км/год. Яке прискорення a мав автомобіль і яку потужність Р він розвинув при цьому, якщо маса його становила m = 1 т (силу тертя не враховувати)?

1.3. Невагомий блок закріплено на кінці стола. Наважки 1 та 2, що мали однакову масу 1 кг, з'єднано ниткою, що перекинута через блок. Коефіцієнт тертя наважки 2 об стіл становить 0,1. Знайти прискорення, з яким рухаються наважки і силу натягу нитки.

1.4. Під дією сили F = 50 Н тіло рухається прямолінійно таким чином, що залежність пройденого тілом шляху s від часу t задається рівнянням s (t) = 5 – 2t + 4t², м. Знайти масу m тіла.

1.5. Людина масою 60 кг біжить зі швидкістю 8 км/год назустріч візку масою 80 кг, швидкість якого становить 2,9 км/год, і стрибає на неї. Яку кінетичну енергію буде мати візок?

1.6. Снаряд масою 10 кг мав швидкість 200 м/с у верхній точці траєкторії. В цій точці він розірвався на дві частини. Менша, масою

3 кг, набула швидкості 400 м/с у тому ж напрямку. Знайти швидкість другої, більшої частини після розриву.

1.7. Граната, що летить зі швидкістю = 5 м/с, розірвалась на два осколки. Маса m₁ першого осколка у 3 рази більш за масу m₂ другого осколка. Перший осколок продовжував рухатися у попередньому напрямку зі швидкістю = 15 м/с. Знайти швидкість меншого осколка.

1.8. Колесо радіусом 30 см і масою 3 кг скочується по похилій площині довжиною 5 м і кутом нахилу 30º. Швидкість у кінці руху становила 4,6 м/с. Визначити момент інерції колеса.

1.9. Знайти роботу А, котру потрібно здійснити, щоб збільшити швидкість тіла масою m = 1 кг від = 2 м/с до = 6 м/с на шляху s = 10 м. На всьому шляху діє сила тертя = 2 Н.

1.10. Ковзаняр, що має масу m = 70 кг, кидає в горизонтальному напрямку камінь масою m₁ = 3 кг зі швидкістю = 8 м/с. На яку відстань s відкотиться ковзаняр, якщо коефіцієнт тертя ковзанів об лід становить µ = 0,02?

1.11. Колесо обертається з кутовим прискоренням ε = 2 с^-². Через час t = 5 с після початку руху повне прискорення колеса набуло величини a = 1м/с²? Визначити радіус колеса R.

1.12.Точка рухається по колу радіуса R = 4 м. Закон її руху описує рівняння s = А + Вt², де А = 8 м, В = – 2 м/с² . Визначити момент часу t, коли нормальне прискорення а_n точки дорівнює 9 м/с². Знайти швидкість , тангенціальне а_τ і повне а прискорення точки в той же момент часу.

1.13. Дві матеріальні точки рухаються згідно рівняння x₁ = А₁t + В₁t² + С₁t³ та x₂ = А₂t + В₂t² + С₂t³, де А₁ = 4 м/с, В₁ = 8м/с², С₁ = –16 м/с³, А₂ = 2 м/с, В₂ = – 4м/с², С₂ = 1 м/с³. У який момент часу t прискорення цих точок будуть однакові? Знайти швидкості і точок у цей момент.

1.14. Куля скочується з похилої площини висотою h = 90 см. Яку лінійну швидкість буде мати центр кулі у той момент, коли вона скотиться з похилої площини?

1.15. На верхній поверхні горизонтального диска, який може обертатися навкруги вертикальної осі, прокладені по колу радіуса r = 50 см рейки дитячої залізної дороги. Маса диска M = 10 кг, його радіус R = 60 см. На рейки нерухомого диска було поставлено заводний паротяг масою m = 1 кг і випущено з рук. Він почав рухатись відносно рейок зі швидкістю = 0,8 м/с. З якою кутовою швидкістю буде обертатися диск?

1.16. Платформа у вигляді диска обертається за інерцією навкруги вертикальної осі з частотою n₁ = 14 хв^-¹. С краю платформи стоїть людина. Коли вона перейшла у центр платформи, частота виросла до n₂ = 25 хв^‑¹. Маса людини m = 70 кг. Визначити масу платформи. Момент інерції людини розраховувати як для матеріальної точки.

1.17. Куля масою m₁ = 10 кг стикається з кулею масою m₂ = 4 кг. Швидкість першої кулі = 4 м/с, другої – = 12 м/с . Знайти загальну швидкість u куль після удару у двох випадках: 1) мала куля наздоганяє велику, яка рухається у тому ж напрямку; 2) кулі рухаються назустріч один одному. Удар вважати прямим, центральним, непружним.

1.18. Колесо радіуса R = 1 м обертається так, що залежність кута повороту спиці колеса від часу t описує рівняння φ(t) = 5 + 2t + t³, рад. Визначити кутову ε, тангенціальне а_τ і нормальне а_n прискорення точок на ободі колеса через час t = 2с після початку руху.

1.19. Куля, що рухався горизонтально, зіткнулася з нерухомою кулею і передала їй 64% своєї кінетичної енергії. Кулі абсолютно пружні, удар прямий, центральний. У скільки разів маса другої кулі більша за масу першої?

1.20. Циліндр, розташований горизонтально, може обертатися горизонтально навкруги осі, що співпадає з віссю циліндра. Маса циліндра m₁ = 12 кг. На циліндр намотали шнур, до якого прив'язали гирю масою m₂ = 1 кг. З яким прискоренням буде опускатися гиря? Яка сила натягу шнура під час руху гирі?

1.21. Через блок, виконаний у вигляді колеса, перекинута нитка, до кінців якої прив'язані грузила з масами m₁ = 100 г і m₂ = 300 г. Масу колеса М = 200 г вважати рівномірно розподіленою по ободу, масою спиць знехтувати. Визначити прискорення, з яким будуть рухатися грузила, і сили натягу нитки по обидві сторони блока.

1.22. Двом однаковим маховикам, що знаходяться у спокої, надали однакову кутову швидкість ω = 63 рад/с і залишили їх самих по собі. Під дією сил тертя маховик зупинився через одну хвилину, а другий зробив до повної зупинки N = 360 об. У якого маховика

тормозний момент був більшим і у скільки разів?

1.23. З якою швидкістю рухається стрічка конвейєру, якщо його колесо діаметром d = 1 м обертається з частотою n = 6 об/хв?

Куля масою 10 кг, що рухається зі швидкістю 14,4 км/год, стикається з кулею масою 4 кг, швидкість якого дорівнює 12 м/с. Вважаючи удар прямим і непружним, знайти кінетичну енергію куль після удару, якщо кулі рухаються назустріч один одному.

1.24. Горизонтальна платформа масою 80 кг і радіусом 1 м обертається з частотою 20 об/хв. В центрі платформи стоїть людина і тримає у розставлених руках гирі. З якою частотою буде обертатися платформа, якщо людина, опустивши руки, зменшить свій момент інерції від 2,92 кгм² до 0,98 кгм². Вважати платформу однорідним диском.

1.25. Однорідний диск радіусом 0,2 м і масою 5 кг, обертається навкруги осі, що проходить через його центр, перпендикулярно до його площини. Залежність кутової швидкості обертання диска від часу дається рівнянням: ω(t) = 3 + 8t , рад/с. Знайти дотичну силу, прикладену до обода диска.

1.26. Визначити момент інерції I тонкого стрижня довжиною 40 см і масою m = 0,5 кг відносно осі, яка проходить через один з його кінців.

1.27. Визначити лінійну швидкість центра мас кулі, яка скотилася з похилої площини висотою 1 м.

1.28. Однорідний стрижень довжиною 1 м і масою 0,5 кг обертається навкруги вертикальної осі, що проходить через кінець стрижня. З яким кутовим прискоренням обертається стрижень, якщо на нього діє момент сил, що дорівнює 98,1 мН·м?

1.29. Знайти силу тяги на гаку трактора, якщо прискорення трактора Маса причепа т, опір руху кН.

1.30. Трактор масою кг рухається по випуклому мосту зі швидкістю Знайти силу тиску на мост у верхній частині, якщо радіус кривизни моста м.

1.31. Для підйому зерна на висоту м встановили транспортер з мотором потужністю кВт. Знайти ккд транспортеру, якщо за час ч піднято зерно масою т.

1.32. Знайти момент сили, який діє на якорь електродвигуна потужністю 1 кВт, якщо він обертається з частотою

1.33. Знайти частоту обертання махового колеса у вигляді суцільного диску радіусом м і масою кг, якщо під дією гальмуючого моменту Нм він спинився через час с.

1.34. Молотильний барабан, момент інерції якого обертається з частотою Знайти час до повної остановки барабана під дією гальмуючого моменту Нм.

1.35. З якою силою натягується біцепс (м’яз) при підйомі ядра масою 8 кг, якщо відстань від центру ядра до ліктя 32 см, а від ліктя до міста кріплення м’яза 4 см?

1.36. Кінетична енергія кулі, яка котиться без ковзання по горизонтальній поверхні дорівнює14 Дж. Знайти кінетичну енергію поступального і обертального руху.

1.37. Велосипедне колесо кг і радіусом м обертається зі швидкістю Знайти момент імпульсу та кінетичну енергію.

1.38. Підрахувати момент інерції тонкого диску кг і радіусом м, в центрі якого є круглий отвір м, відносно осі, яка проходить перпендикулярно площини диску крізь його центр.