Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Владимирский государственный университет

имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»

(ВлГУ)

Кафедра «Автоматизация технологических процессов»

Оптимизация процессов обработки

Методические указания к выполнению

лабораторных работ

Составитель к.т.н. доцент каф. АТП

Шлегель А.Н.

Владимир, 2002

Лабораторная работа №1

Решение и анализ оптимизационных задач средствами Excel

Введение

Важность принятия оптимальных решений не только в экономике при распределении ресурсов, но и в технике при проектировании и эксплуатации технических объектов, не вызывает сомнений. Но найти оптимальное решение для реальной задачи вручную, без применения компьютера, практически невозможно из-за очень большого объёма вычислений. Наличие компьютера является необходимым, но не достаточным условием нахождения оптимального решения. Для успешного решения необходимы три составляющие:

• математическая модель;

• компьютер с соответствующим программным обеспечением;

• достоверные исходные данные.

Итак, решению задачи оптимизации предшествует построение её математической модели, представляющей собой систему алгебраических уравнений.

Для решения системы уравнений можно использовать различные пакеты прикладных программ (MathCad, MatLab, Maple, Mathematica и др.), но наибольший эффект при решении оптимизационных задач дает использование ЭТ Excel. Этот пакет прикладных программ даёт возможность не только найти оптимальное решение, но и исследовать полученное решение, пользователь может проанализировать решение, изменять значения исходных данных, снять или ослабить какие-то ограничения и повторить решение.

В данном методическом пособии рассматриваются вопросы решения линейных оптимизационных задач симплекс-методом с помощью электронной таблицы (ЭТ) Excel.

Пособие предназначено для студентов всех специальностей, изучающих математическое моделирование и компьютерную поддержку принятия решений в различных курсах менеджмента, консалтинга и оптимального проектирования технических систем.

Изложены, очень кратко, теоретические основы, без знания которых поиск оптимальных решений невозможен.

Для выполнения данной работы пользователь должен иметь основные навыки работы с ЭТ Excel, т.к. в данной работе эти вопросы не рассматриваются. В соответствии с вышесказанным, в данных методических указаниях поиск оптимального решения находится в результате выполнения трех частей данной лабораторной работы:

• Часть 1 – Поиск оптимального решения для контрольного примера;

• Часть 2 – Анализ полученного решения (в том числе, отсутствия подходящего решения), допустимые изменения исходных данных и ограничений и нахождение оптимального решения для изменённых данных.

• Часть 3 – Решение и анализ индивидуальной задачи. Часть 1. Поиск оптимального решения (для контрольного примера)

1.1. Постановка линейной задачи оптимизации

Оптимизационными задачами называются такие задачи, в которых требуется найти экстремальное значение некоторой функции при заданных ограничениях. Такими ограничениями могут быть граничные значения (верхние и/или нижние) переменных или функции этих переменных. Функцию, экстремум которой ищется, принято называть целевой функцией. Если целевая функция и ограничения линейны, данная задача относится к разделу математики носящему название линейного программирования. В свою очередь, линейное программирование является частью одного из разделов прикладной математики – математического программирования.

Для аналитического решения задачи линейного программирования, которая является частным случаем оптимизации, разработан специальный алгоритм, который называется симплекс-методом. Описание аналитического метода весьма сложно, поэтому в данных методических описывать его не будем (см. [3]), а рассмотрим лишь те его основные положения, которые используются в Excel

В общем виде задачу оптимизации можно сформулировать так.

• Имеется некая функция F искомых переменных x_j, называемая целевой функцией (ЦФ), экстремум которой требуется найти.

• На искомые переменные накладываются определенные ограничения (ОГР), которые могут быть как односторонними g_i(x_j)<=b_i, так и двусторонними a_i<= g_i(x_j)<= b_i.

• Искомые переменные в оптимальном решении должны находится в определенных граничных условиях (ГРУ) - k_j<=x_j<=v_j.

Целевая функция или критерий оптимизации, показывает в каком смысле решение должно быть оптимальным, т.е. наилучшим – максимальным, минимальным или равным заданной величине.

В общем виде математическую модель оптимизации можно записать:

Ц Ф F=f(x_j) =  max (min, const)

ОГР <= b_i............. .............(1.1.1)

ГРУ k_j<=x_j<=v_j

Решение задачи, удовлетворяющее всем ограничениям и граничным условиям, называется допустимым. Если математическая модель задачи оптимизации составлена правильно, то задача будет иметь целый ряд допустимых решений.

Важной характеристикой задачи оптимизации является её размерность, определяемая числом переменных n и числом ограничений m. Возможны три соотношения этих величин:

• n<m - в этом случае задача не имеет решения;

• n=m - , задача имеет только одно решение и вряд ли такую задачу можно считать оптимизационной;

• n>m - задача имеет бесчисленное множество допустимых решений, из которых надо выбрать оптимальное.

1.2. Построение математической модели (на контрольном примере)

Как уже была сказано во введении, и в экономике и в технике имеется большое количество задач, при решении которых специалисты должны принимать оптимальные решения. Можно напомнить, что за разработку метода оптимального распределения ресурсов академик Л.В. Конторович в 1974 г. был удостоен Нобелевской премии по экономике.

Решение любой оптимизационной задачи начинается с построения её математической модели, представляющей собой совокупность алгебраических уравнений.

В данных методических указаниях поиск оптимального решения рассматривается на примере установления плана выпуска продукции в заданном ассортименте, исходя из наилучшего использования производственных ресурсов и обеспечения максимальной экономической эффективности производства.

Предположим, что предприятие может выпускать продукцию четырех видов Прод1-Прод4 (n=4). Для их изготовления требуются ресурсы трех видов (m=3), например, трудовые ресурсы, сырьё и финансы. Известно количество ресурса каждого вида, необходимое для выпуска единицы продукции каждого вида, т.н. нормы расхода ресурсов. Кроме того, известны ограниченные объёмы этих ресурсов на планируемый период, т.н. запасы ресурсов. Известна прибыль, получаемая от реализации единицы продукции каждого вида - единичная прибыль. Заданы также граничные значения объёмов выпуска каждого вида продукции (верхняя или/и нижняя границы) и соотношения в выпуске отдельных видов продукции. Требуется определить оптимальное количество выпуска каждого вида продукции, при котором будут получена максимальная прибыль.

Для построения математической модели задачи введем следующие обозначения:

x_j - количество выпускаемой продукции j-го типа, j = 1, n;

b_i - количество располагаемых ресурсов i-го вида, i = 1,m;

a_ij - норма расхода ресурса i-го вида для выпуска единицы продукции j-го типа;

g_i - ограничение на количество располагаемых ресурсов i-го вида;

k_j - нижняя граница объёма производства продукции j-го типа;

v_j - верхняя граница объёма производства продукции j-го типа.

Тогда математическая модель может быть представлена в виде набора следующих уравнений (1.2.1):

Целевая функция

Ограничения на ресурсы

Ограничения на объёмы производства

(1.2.1)

Как уже указывалось, в связи с тем, что и целевая функция и ограничения имеют линейный характер, данная задача относятся к задачам линейного программирования.

В линейном программировании фундаментальное значение имеет теория двойственности. Именно на основе этой теории выполняется анализ полученных оптимальных решений.

Рассмотрим кратко основные положения этой теории.

Каждой задаче линейного программирования, которую будем называть исходной, соответствует двойственная задача, которая формулируется по следующим правилам.

1. Каждому i-му ограничению исходной задачи соответствует переменная двойственной задачи, которую называют двойственной переменной.

2. Каждой переменной исходной задачи соответствует ограничение двойственной задачи.

3. Матрица коэффициентов при двойственных переменных в ограничениях двойственной задачи является транспонированной матрицей коэффициентов при переменных в ограничениях исходной задачи (строки одной матрицы являются соответствующими столбцами другой).

4. Если в исходной задаче ограничения имеют знаки неравенства , то в двойственной они будут .

5. Правые части ограничений в двойственной задаче равны коэффициентам при переменных в целевой функции и исходной задачи.

6. Коэффициенты при двойственных переменных в целевой функции двойственной задачи равны правым частям ограничений исходной задачи.

7. Максимизация целевой функции исходной задачи заменяется минимизацией целевой функции двойственной задачи.

Таким образом, исходной задаче в общем виде:

F =  max

 b_i (1.2.2)

x_j  0

соответствует двойственная:

F _д =  min

(1.2.3)

В соответствии с правилом п.7 –

maxF = minF_д, а т.к. minF_д =

Тогда последнюю формулу для наглядности можно записать так:

maxF = (1.2.4)

Из (1.2.4) видно, что двойственная переменная z_i является коэффициентом при b_i и, следовательно, показывает, как изменится целевая функция при изменении ресурса b_i на единицу.

В литературе по оптимизации двойственные переменные z_i принято называть двойственными оценками. В отчетах Excel двойственная оценка называется теневой ценой.

Пояснить значение двойственных оценок можно следующим образом.

Если некоторый i-й ресурс используется не полностью, т.е. имеется его некоторый резерв, значит, дополнительная переменная в ограничении для данного ресурса будет больше нуля, а двойственная оценка этого ограничения равна нулю. Следовательно, уменьшение этого ресурса на величину резерва не влияет на оптимальное решение. Увеличение этого ресурса вызовет только увеличение резерва, также без изменения результата решения.

Если же какой то ресурс используется полностью, то его увеличение или уменьшение повлияет на величину целевой функции, а значение двойственной оценки показывает, на сколько изменится целевая функция при изменении этого ресурса на одну единицу.

Значения двойственных переменных специально вычислять не надо, они определяются автоматически в процессе поиска оптимального решения.