1.1.4. Проецирование точек, расположенных в различных четвертях пространства
Плоскости проекций разделяют все пространство на 8 частей, их называют октантами. В практике изображения геометрических объектов на чертежах из соображения удобства и наибольшей наглядности проецируемый объект располагают в I октанте. Поэтому в курсе начертательной геометрии мы могли бы ограничиться рассмотрением геометрических объектов, расположенных только в этом октанте. Но поскольку одной из целей нашего курса является формирование пространственного мышления у обучающихся, нельзя обойти вниманием вопросы проецирования точек, расположенных в различных зонах пространства. Ограничимся, тем не менее, только той частью пространства, где ось ОХ имеет положительное направление. Рассмотрим четыре четверти пространства, пронумерованные римскими цифрами, как показано на рис. 1.3, а. В этом случае, очевидно, оси ОZ и ОY имеют и отрицательные значения. А именно, на комплексном чертеже (рис. 1.3, б): отрицательное направление оси ОY совпадает с положительным направлением осей ОХ (для профильной проекции) и ОZ (для горизонтальной проекции); отрицательное направление оси ОZ совпадает с положительным направлением оси ОY. Исходя из этого проекции точек, расположенных в различных четвертях, выглядят на двухкартинном комплексном чертеже как показано на рис. 1.4.
Рис. 1.4. Проекции точек, расположенных в различных четвертях.
Здесь не показано расположение профильной проекции, т.к., руководствуясь правилом взаимосвязи проекций, по двум имеющимся проекциям всегда можно построить третью. Например, для точки В, расположенной во II четверти (рис. 1.4).
1.1.5. Проецирование точек, занимающих частное положение в пространстве
Частным положением точки считаем такое, при котором она находится либо на оси проекций, либо на плоскости проекций. Так, если точка расположена на оси проекций, тогда две ее проекции лежат на этой оси, а третья в начале координат. Если точка расположена на плоскости проекций, тогда одна из ее проекций лежит в этой же плоскости, а две другие – на осях проекций.
В качестве примера рассмотрим построение проекций точки Е, принадлежащей оси OY и расположенной во II четверти, и точки F, лежащей в профильной плоскости проекций и расположенной в III четверти (рис. 1.5).
Рис. 1.5. Проекции точек, занимающих частное положение по отношению к плоскостям проекций.
Для точек, занимающих частное положение в пространстве, построения следует начинать с проекций, принадлежащих либо оси, либо плоскости проекций.
1.1.6. Построение проекций точки по ее координатам
Если заданы координаты какой-либо точки А (x, y, z), тогда проекции точки строят следующим образом: сначала откладывают абсциссу по оси ОХ; затем проводят вертикальную линию; далее на ней откладывают ординату по оси OY и аппликату по оси OZ (вверх, либо вниз от оси ОХ в зависимости от знака координат y, z). По оси OY получают горизонтальную проекцию А1, по оси OZ - фронтальную А2. Профильную проекцию А3 строят по А1 и А2 (либо по координатам). Например, построим проекции точек А (10, 20, 30) и С (20, -30, -10). Построения показаны на рис. 1.6.
Необходимо помнить, что положение горизонтальной проекции определяется координатами х и y, фронтальной проекции -координатами х и z, профильной проекции – координатами y и z. Тогда ордината y всегда характеризует положение горизонтальной проекции, а аппликата – фронтальной.
Рис. 1.6. Взаимосвязь координат точки и ее проекций:
а) вид в аксонометрии; б) комплексный чертеж.
Исходя из тех же положений, решается обратная задача – определение координат точки по ее проекциям. Если на комплексном чертеже изображены проекции точки, тогда, измерив соответствующие расстояния, определяем ее координаты (см. рис. 1.6, б). Причем для определения всех трех координат достаточно двух проекций, т.к. любая пара проекций определяет три координаты.