3.3.3. Теорема Монжа

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности (или вписаны в нее), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка (эллипс, окружность, гиперболу, параболу). Причем, плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линии касания.

Решение задачи о нахождении линии пересечения конуса и цилиндра, изображенных на рис. 3.7, значительно упрощается, если применить теорему Монжа.

Рис. 3.7. Построение линии пересечения цилиндра и конуса по теореме Монжа.

Как видим, обе рассматриваемые поверхности описаны вокруг сферы. Построим решение сначала на П₂. Очевидно, точки 1₂, 2₂, 3₂, 4₂ являются точками пересечения конуса и цилиндра, так как лежат на контурных образующих. Тогда в соответствии с теоремой Монжа решением являются две прямые, проходящие через точки 1₂ и 3₂ и точки 2₂ и 4₂, так как эти прямые представляют собой фронтальные проекции плоскостей, упомянутых в теореме.

В данном случае полученные линии пересечения цилиндра и конуса являются эллипсами, построение которых на П₁ ничем не отличается от построения любой линии, лежащей на поверхности конуса. Выбирая точки на фронтальной проекции каждой из линий 13 и 24, получаем их горизонтальные проекции.

Точки 1, 2, 3, 4 лежат на образующей конуса, параллельной П₂, поэтому их положение на П₁ можно найти по линии связи, проходящей через 1₂, 2₂, 3₂, 4₂. Точки 5 и 6 выбраны на образующей цилиндра, также параллельной П₂, что позволяет по фронтальным проекциям 5₂ и 6₂ найти горизонтальные проекции 5₁ и 6₁ соответственно, которые являются точками перехода видимой части горизонтальной проекции линий пересечения цилиндра и конуса в невидимую.

Точка 7 является точкой касания цилиндра и конуса. Ввиду симметрии относительно фронтальной плоскости уровня решение на П₁ симметрично относительно горизонтальной оси, а на П₂ видимые участки линии пересечения совпадают с невидимыми.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К РАЗДЕЛУ 3

Вопрос №1

Какая из перечисленных поверхностей является проецирующей?

а) наклонный цилиндр

б) прямой конус

в) прямой цилиндр

Вопрос №2

Что представляет собой линия пересечения двух многогранников?

а) окружность

б) многоугольник

в) эллипс

Вопрос №3

Какие условия должны выполняться при использовании метода вспомогательных секущих сфер?

а) обе поверхности являются поверхностями вращения; их оси пересекаются; оси вращения параллельны одной из плоскостей проекций.

б) одна из поверхностей является гранной; оси симметрии поверхностей пересекаются; оси параллельны одной из плоскостей проекций.

в) обе поверхности являются поверхностями вращения; их оси пересекаются; оси вращения перпендикулярны одной из плоскостей проекций.

Вопрос №4

Какое условие должно выполняться, для того, чтобы можно было применить теорему Монжа?

а) оси вращения поверхностей пересекаются

б) оси вращения поверхностей параллельны плоскости проекции

в) две поверхности вращения описаны вокруг третьей поверхности