3.2. Пересечение поверхности вращения многогранником
При пересечении поверхности вращения многогранником их общим геометрическим элементом является некоторая линия.
Рассмотрим построение этой линии на примере решения задачи о пересечении прямой трехгранной призмы и сферы (рис. 3.3).
Рис. 3.3. Пересечение призмы и сферы.
Поскольку боковые грани призмы перпендикулярны к П1, то горизонтальная проекция линии пересечения призмы и сферы совпадает с горизонтальной проекцией призмы.
Остается построить фронтальную проекцию линии пересечения. Так как по двум проекциям геометрического объекта легко построить третью, то здесь мы ограничимся построением горизонтальной и фронтальной проекций.
Применим метод вспомогательных секущих плоскостей, в качестве которых выберем фронтальные плоскости уровня, проходящие через характерные (1, 3, 5) и промежуточные (2, 4) точки, лежащие на линии пересечения призмы и сферы. Их горизонтальные проекции 11, 21, 31, 41, 51 указаны на рис. 3.3.
Линией пересечения фронтальной плоскости уровня со сферой является окружность, для построения которой на П2 достаточно измерить расстояние от вертикальной оси до контура сферы на П1, а затем этим радиусом на П2 провести окружность.
Рассмотрим построение фронтальной проекции какой-либо точки, например, точки 2. Проводим через нее фронтальную плоскость Ф*. Затем измеряем расстояние от точки 61 до 71 и этим радиусом проводим дугу окружности из точки О2. Искомая точка лежит на пересечении этой дуги с линией связи, проведенной из точки 21. Аналогично строятся точки 12, 42, 52. Через точку 3 нет необходимости проводить вспомогательную секущую плоскость, так как она лежит на контуре сферы в проекции на П2, и для построения точки 32 достаточно провести из точки 31 линию связи до пересечения ее с контуром сферы.
Соединив точки 12, 22, 32, 42, 52, получаем один из участков искомой линии.
Так как участок линии между точками 5 и 8 лежит на фронтальной плоскости Ф***, что видно на его горизонтальной проекции 5181, то между точками 52 и 82 линия пересечения призмы и сферы представляет собой дугу окружности, проведенной через точку 52.
В связи с тем, что рассматриваемые поверхности симметричны относительно горизонтальной и профильной плоскостей уровня, искомая линия пересечения в проекции на П2 симметрична относительно вертикальной и горизонтальной осей, и ее построение не требует дополнительных пояснений.
Видимость линий определяется по видимости точек так же, как в предыдущих главах.
Используя метод вспомогательных секущих плоскостей, можно построить линию пересечения любых поверхностей вращения и многогранников. Если при построении линий пересечения вспомогательных секущих плоскостей и рассматриваемых поверхностей возникают затруднения, тогда необходимо способом замены плоскостей проекций получить проекции указанных поверхностей в более удобном виде.
3.3. Пересечение поверхностей вращения.
3.3.1. Метод вспомогательных секущих плоскостей
Для построения линии пересечения поверхностей вращения, расположенных произвольно в пространстве, удобно использовать универсальный метод вспомогательных секущих плоскостей.
Решим задачу о пересечении прямого конуса и сферы (рис. 3.4). Ось конуса – горизонтально-проецирующая прямая i , а ось сферы - i*.
Рис. 3.4. Пересечение конуса и сферы.
В качестве вспомогательных секущих плоскостей выбираем горизонтальные плоскости уровня, так как на П2 линиями их пересечения с конусом и сферой являются горизонтальные прямые, а на П1 – дуги окружностей, построение которых не вызывает затруднений. Так, для произвольной горизонтальной плоскости Г* имеем: линиями ее пересечения с конусом и сферой являются окружности, которые на П2 проецируются в горизонтальные прямые, совпадающие с Г2*. Тогда на П1 эти линии представляют собой дуги окружностей, радиусами R и r, каждый из которых равен расстоянию от соответствующей оси до контура конуса и сферы на П2. Пересечение этих дуг и дает точки 21 и 21*, являющиеся искомыми горизонтальными проекциями точек пересечения конуса и сферы. Проводя вертикальную линию связи до пересечения с Г2*, получаем фронтальные проекции 22 и 22* найденных точек.
Аналогично находим горизонтальные и фронтальные проекции точек 1, 3, 4, 1*, 3*, 4*, которые являются парными, так как лежат в одной горизонтальной плоскости уровня. Исключение составляет точка 5, поскольку она является точкой перегиба линии пересечения.
Характерными в данном примере будут точки 1 и 1*, лежащие на экваторе сферы. Как видим, эти точки определяют на П1 переход видимого участка искомой линии в невидимый. Также характерными являются точки 6 и 7, лежащие на главном меридиане, которые на П2 разделяют видимый и невидимый участки линии пересечения конуса и сферы.
Проведя плавные кривые через найденные проекции точек, получим фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения конуса и сферы.