2.2.6. Точка и линия на поверхности тора

Рассмотрим открытый тор, ось которого расположена вертикально, т.е. является горизонтально-проецирующей линией. Учитывая, что построение профильной проекции не вызывает больших затруднений, будем строить проекции лишь на П₁ и П₂ (рис. 2.17).

Рис. 2.17. Построение проекций точек и линии на поверхности тора.

Для удобства решения задач обозначим на рис. 2.17 характерные точки А, В, С, D, E, F, G, K, L, G*, K*, L*. Будем рассматривать переднюю половину поверхности тора.

а) По горизонтальным проекциям точек М и N на поверхности тора построить фронтальные.

Для этого необходимо через точки М₁ и N₁ провести дуги окружности радиуса О₁М₁ и О₁N₁ соответственно до пересечения с прямой А₁В₁, где получим точки 1₁ и 2₁. По линиям связи построим точки 1₂ и 2₂, лежащие на окружностях, образующих поверхность тора. Через них проведем горизонтальные прямые, соответствующие дугам окружности на П₁. Следовательно, на них лежат точки М₂ и N₂. Так как контуром видимости является линия GLK, то точка M₂ – невидимая, а N₂ – видимая.

б) Построить фронтальную проекцию линии MN на поверхности тора, горизонтальная проекция которой представляет собой прямую М₁N₁.

Точка 3₁, принадлежащая М₁N₁, лежит на контуре. Значит, ее положение на K₂L₂ можно получить по линии связи через 3₁. Очевидно, участок между точками N₂, 3₂ видимый, а между 3₂ и М₂ – невидимый. Так как невидимый участок достаточно протяженный, выберем некоторую промежуточную точку 4₁. Ее фронтальную проекцию 4₂ построим аналогично точкам M и N, проведя дугу окружности радиуса О₁4₁. Далее, соединив точки М₂, 4₂, 3₂, N₂, получаем окончательное решение. Кривая M₂N₂ состоит из невидимого М₂4₂3₂ и видимого 3₂N₂ участков.

2.2.7. Пересечение поверхности вращения прямой

Для отыскания точек пересечения прямой с поверхностью вращения применим уже описанный ранее метод вспомогательной секущей плоскости, которая должна быть проведена через рассматриваемую прямую.

Пусть требуется построить фронтальную и горизонтальную проекции точек пересечения прямой а с конусом (рис. 2.18).

Рис. 2.18. Построение точек пересечения прямой и конуса.

Проведем через прямую а горизонтально-проецирующую плоскость . Тогда их горизонтальные проекции а₁ и ₁ совпадут.

Построим линию пересечения плоскости  и конуса. На плоскости П₁ горизонтальная проекция этой линии совпадает с а₁ и ₁.

Для того, чтобы построить фронтальную проекцию этой линии достаточно определить положение проекций нескольких точек. На П₁ выберем точки 1₁, 2₁, лежащие на основании конуса, точку 3₁, расположенную на образующей S₁B₁, и промежуточную точку 4₁. Все эти точки лежат на боковой поверхности конуса, поэтому для их построения используют правила построения точек на поверхности. А именно, точки 1₂, 2₂, 3₂ получаем по линиям связи. Некоторые сложности доставляет лишь построение точки 4₂. Из вершины S₁ конуса радиусом S₁4₁ проводим дугу окружности до пересечения с образующей S₁А₁ в точке 5₁. Затем по линии связи на S₂А₂ строим точку 5₂. Проведя через нее горизонтальную прямую, на линии связи с 4₁ получаем точку 4₂. Соединив точки 1₂, 4₂, 3₂, 2₂, имеем фронтальную проекцию линии пересечения горизонтально-проецирующей плоскости  и конуса.

Тогда точки M₂ и N₂ являются фронтальными проекциями точек пересечения прямой а и конуса, так как эти точки одновременно принадлежат прямой а и линии 1432, лежащей на поверхности конуса. Далее по линиям связи получаем M₁ и N₁, принадлежащие а₁.

Видимость прямой а на П₁ и П₂ определяем исходя из видимости точек M и N. Так как M₁ и N₁ видимые, то невидимым будет лишь участок M₁N₁. По этим же соображениям на П₂ невидимым является участок M₂N₂.