2.2. Поверхности вращения

2.2.1. Образование поверхностей вращения

Поверхности вращения образуются при вращении некоторой произвольной линии вокруг оси. В этом случае образующей является указанная линия, а направляющей - окружность. Форма поверхности вращения определяется формой образующей.

Пусть произвольная линия AGEB вращается вокруг оси i. Тогда она образует поверхность вращения (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Образование поверхности вращения.

Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось i, называется меридианом (например, A*G*E*B*). Меридиан, лежащий в плоскости, параллельной П₂, называется главным. Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, перпендикулярной оси i, называется параллелью. Таковыми являются направляющие, проходящие через точки АА*, ВВ*, ЕЕ*, GG*. Параллель, проходящая через наиболее удаленную от оси точку Е образующей, называется экватором, а через самую близкую точку G – горлом. Очевидно, что все параллели представляют собой окружности.

2.2.2. Цилиндр, конус, сфера, тор

Одной из самых простых поверхностей вращения является цилиндр. Цилиндрическая поверхность образуется при вращении прямой (образующей) АВ вокруг оси (рис. 2.12, а). Образование цилиндрической поверхности подобно получению призматической с той лишь разницей, что у гранной поверхности направляющей является ломаная линия.

Рис. 2.12. Образование поверхности цилиндра, конуса, сферы.

В случае образования конической поверхности (конус) прямая AS, вращающаяся вокруг оси, закреплена в некоторой точке S на оси (рис. 2.12, б). Такая поверхность подобна пирамидальной, у которой образующей является тоже прямая, но перемещающаяся по ломаной линии. Для того чтобы получить цилиндр или конус, надо соответствующую поверхность ограничить плоскостями основания.

Если в качестве образующей выбираем окружность, то при ее вращении вокруг оси получаем:

• сферу, когда ось вращения проходит через центр О окружности (рис. 2.12, в);

• тор, в противном случае (рис. 2.13).

Если ось вращения проходит через образующую–окружность, тор получается закрытым (рис. 2.13, а), в противном случае - открытым (рис. 2.13, б). Примером открытого тора может служить бублик, закрытого – яблоко.

Рис. 2.13. Образование поверхности тора.

2.2.3. Точка и линия на поверхности цилиндра

Пусть задан прямой цилиндр, плоскости основания которого параллельны плоскости П₁ (рис. 2.14).

Рис. 2.14. Построение проекций точек и линии на поверхности цилиндра.

а) Зная фронтальные проекции точек А и В, лежащих на боковой поверхности цилиндра, построить отсутствующие проекции. Поскольку на П₁ боковая поверхность цилиндра проецируется в окружность, то А₁ и В₁ лежат, очевидно, на ней. Их положение находим по вертикальным линиям связи.

Профильные проекции А₃, В₃ лежат, как известно, на горизонтальных линиях связи с фронтальными проекциями А₂ и В₂. При этом, в соответствии с правилами ортогонального проецирования, расстояние от Ф₃ до профильной проекции точки равно расстоянию от Ф₁ до горизонтальной проекции точки. Причем точка В₃ – невидимая, так как лежит на невидимой части боковой поверхности цилиндра.

б) Решим следующую задачу: по заданной фронтальной проекции А₂В₂ линии на поверхности (рис. 2.14) построим отсутствующие проекции.

Горизонтальная проекция А₁В₁ совпадает с окружностью, так как все точки линии АВ лежат на боковой поверхности цилиндра.

При построении профильной проекции А₃В₃ следует иметь в виду, что линия АВ пересекает прямую СD, которая на П₃ является контуром С₃D₃ цилиндра. Поэтому сначала следует определить положение контурной точки 1₃, а затем соединить точки А₃ и В₃ линией, которая в отличие от А₂1₂В₂ не является прямой. В связи с этим для построения необходимо на А₂1₂В₂ выбрать несколько промежуточных точек (2₂, 3₂ и т.д.) и построить их профильные проекции (2₃, 3₃ и т.д.), руководствуясь вышеуказанным правилом взаимосвязи горизонтальной и профильной проекций. Чем большее количество промежуточных точек выбираем, тем более точными будут построения.