2.1.3. Пересечение многогранника прямой

Для определения точек пересечения прямой и многогранника, так же как и в задаче о пересечении прямой и плоскости, необходимо через заданную прямую провести вспомогательную плоскость частного положения.

Пусть требуется определить точки пересечения прямой а и призмы АВСА*В*С* (рис. 2.6).

Рис.2.6. Определение точек пересечения прямой и призмы.

Проведем через прямую а фронтально–проецирующую плоскость . Тогда ₂=а₂. Определим фронтальные проекции точек пересечения плоскости  с прямой а. Это точки 1, 2, 3, 4, где плоскость  пересекает ребра призмы. Их фронтальные проекции 1₂, 2₂, 3₂, 4₂ легко получить на линии а₂. Ясно, что по этим точкам проходит фронтальная проекция 1₂2₂3₂4₂ плоской фигуры, полученной в результате пересечения  и призмы. Для построения ее горизонтальной проекции достаточно по линиям найти горизонтальные проекции 1₁, 2₁, 3₁, 4 точек, лежащих на соответствующих ребрах призмы, соединив которые получим искомую плоскую фигуру 1₁2₁3₁4₁. Стороны этого четырехугольника лежат на соответствующих гранях призмы.

Следовательно, зная видимость граней призмы, можно определить видимость сторон четырехугольника на П₁: невидимой является лишь сторона 3₁4₁. Очевидно, что точки М₁ и N₁- горизонтальные проекции точек пересечения прямой а и призмы, так как они одновременно принадлежат и прямой а и линиям 23 и 34, лежащим на поверхности призмы. По линиям связи найдем положение точек М₂ и N₂, лежащих на а₂.

Видимость определяется по принадлежности точек М и N граням призмы. Так как точка М₁ лежит на видимой грани В₁С₁ С₁*В₁*, то она видимая; точка N₁ принадлежит невидимой грани А₁А₁*В₁*В₁, следовательно она невидимая. Однако после «выхода» из призмы в точке N₁ прямая а₁ не сразу становится видимой, так как она остается закрытой гранями призмы. Аналогично определяем видимость точки М₂, поскольку она принадлежит видимой грани В₂С₂ С₂*В₂*, и невидимость точки N₂, принадлежащей невидимой грани А₂А₂*В₂*В₂. Невидимые участки прямой а обозначим пунктирной линией.

Используя те же приемы, можно определить точки пересечения прямой в и пирамиды SABCD. Построения производим с помощью горизонтально–проецирующей плоскости, проходящей через заданную прямую в (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Определение точек пересечения прямой и пирамиды.

Последовательность построений та же, что и предыдущей задаче: так как в₁=₁, то находим все точки 1₁, 2₁, 3₁, 4₁ пересечения с ребрами, затем по ним - точки 1₂, 2₂, 3₂, 4₂, соединяем их и получаем четырехугольник 1₂ 2₂ 3₂ 4₂; далее определяем пересечение в₂ со сторонами четырехугольника, т.е. точки М₂ и N₂; по ним на в₁ находим М₁ и N₁. Видимость определяем исходя из вышеизложенных принципов.

2.1.4. Пересечение многогранника плоскостью. Натуральная величина сечения

Задача о пересечении многогранника плоскостью решается так же, как и ряд предыдущих, построением вспомогательных секущих плоскостей. Пусть требуется решить задачу о нахождении общих геометрических элементов плоскости, заданной пересекающимися прямыми в и d, и призмы АВСDА*В*С*D* (рис. 2.8.).

Рис. 2.8. Построение линии пересечения плоскости и призмы.

Очевидно, что этими общими геометрическими элементами будут отрезки прямой. Для упрощения построений вспомогательные секущие плоскости проведем через ребра призмы. В данном случае удобнее использовать горизонтально–проецирующие плоскости. , *,**,***. Тогда линиями их пересечения с прямыми в и d будут на П₁ прямые 5₁5₁*, 6₁6₁*, 7₁7₁*, 8₁8₁*. По линиям связи найдем фронтальные проекции 5₂5₂*, 6₂6₂*, 7₂7₂*, 8₂8₂* линий пересечения секущих плоскостей с заданной плоскостью. Далее определим точки пересечения этих линий с соответствующими ребрами призмы: например, для ребра DD*, через которое проходит вспомогательная секущая плоскость , линией пересечения плоскости  и заданной плоскости будет 88*, а значит, в проекции на П₂ точкой пересечения заданной плоскости и ребра DD* является точка 1₂. Аналогично построим другие точки 2₂, 3₂, 4₂. Соединив их, получаем ломаную линию 1₂2₂3₂4₂ , которая является фронтальной проекцией линии пересечения плоскости, заданной пересекающимися прямыми в и d, и призмы. Горизонтальную проекцию ломаной линии 1₁2₁3₁4₁ легко построить по линиям связи, опущенным на соответствующие проекции ребер призмы. Видимость участков проекций ломаной линии определяем по принадлежности к граням призмы.

Сечением многогранника называется плоская фигура, расположенная в секущей плоскости и ограниченная линиями пересечения ее с многогранником. Очевидно, такая фигура представляет собой некоторый многоугольник. Так на рисунке 2.8 это четырехугольник 1234.

Нередко практический интерес представляет задача определения натуральной величины сечения. Ранее, в главе 3, был рассмотрен способ замены плоскостей проекций, позволяющий решать подобные задачи.

Определим натуральную величину сечения (четырехугольника), полученного на рис. 2.8. Поскольку указанный способ подробно описан в п. 1.3.14, то ход решения представим кратко. Так как четырехугольник 1234 занимает общее положение в пространстве, то его натуральную величину можно определить двумя переменами плоскостей проекций, сначала построив плоскость, перпендикулярную четырехугольнику 1234, а затем – параллельную ему. Чтобы не загромождать чертеж (рис. 2.8), вынесем построения на отдельный рисунок 2.9. Для построения плоскости, перпендикулярной плоскости четырехугольника 1234, необходимо начертить одну из главных линий, например, горизонталь. Ее фронтальная проекция h₂ должна быть параллельна оси П₁/П₂. По точкам пересечения 2 и 4 с четырехугольником 1234 находим и горизонтальную проекцию h₁ горизонтали.

Рис. 2.9. Определение натуральной величины сечения.

Новая ось П₄/П₁, разделяющая П₁ и новую плоскость П₄, должна быть перпендикулярна h₁. Затем получаем проекцию 1₄2₄3₄4₄ в виде прямой. И наконец, вычертив вторую новую ось П₅/П₄, параллельно 1₄3₄, построим проекцию 1₅2₅3₅4₅ четырехугольника в плоскости П₅. Это и есть натуральная величина четырехугольника 1234. Сечение заштрихуем под углом 45 к горизонтальной прямой.

Чаще приходится решать более простую задачу – определение натуральной величины сечения многогранника плоскостью частного положения. В этом случае достаточно сделать всего одну замену плоскостей проекций. Рассмотрим на примере сечения пирамиды горизонтально–проецирующей плоскостью  (рис 2.10). Пусть задана горизонтальная проекция ₁. Необходимо найти линию пересечения плоскости  с пирамидой и определить натуральную величину сечения. Таким образом, задача разбивается на две части: сначала надо построить сечение в плоскостях П₁и П₂, а затем определить его натуральную величину.

Рис. 2.10. Построение линии пересечения и определение натуральной величины сечения пирамиды плоскостью.

Чтобы решить первую часть задачи нужно найти все точки пересечения плоскости  с ребрами пирамиды и соединить их отрезками прямой. Горизонтальная проекция ₁ пересекает ребра пирамиды в точках 1₁, 2₁, 3₁, 4₁ (рис. 2.10, а). По линиям связи находим их фронтальные проекции 1₂, 2₂, 3₂, 4₂ на фронтальных проекциях соответствующих ребер. Соединяя найденные точки, получаем линию пересечения 1₂2₂3₂4₂ заданной плоскости с пирамидой. Отрезок 1₂4₂ этой линии будет невидимым, так как он лежит на невидимой грани A₂S₂C₂. Плоская фигура, ограниченная полученной линией (на рис. 2.10, а заштрихована), и является сечением пирамиды плоскостью. В нашем примере это четырехугольник 1234.

Для определения натуральной величины четырехугольника 1234 способом замены плоскостей проекций не обязательно строить новую ось параллельно ₁ (или 1₁2₁4₁3₁), ввиду ограниченности площади чертежа. Достаточно соблюдать основные принципы построения. Начертим новую ось на свободном поле чертежа. Перенесем на нее точки 1₁,2₁,4₁,3₁, не меняя расстояния между ними. Проведем через них перпендикуляры к оси. Затем отложим на построенных перпендикулярах отрезки, равные расстояниям от оси П₂/П₁, которую считаем расположенной на основании А₂В₂С₂ пирамиды, до соответствующих проекций 1₂, 2₂, 4₂, 3₂. Соединив указанные точки, получим натуральную величину сечения пирамиды заданной плоскостью  (рис. 2.10, б).

Как видим, сечение в натуральную величину отличается от 1₂2₂3₂4₂ лишь тем, что оно вытянуто вдоль ₁.