1.3.14. Способ замены плоскостей проекций

Способ замены плоскостей проекций состоит в том, что одна из основных плоскостей проекций П₁ или П₂ заменяется новой плоскостью проекций П₄, подходящим образом расположенной относительно изображаемого предмета, но перпендикулярной незаменяемой плоскости проекций (рис.1.30).

Рис. 1.30. Интерпретация способа замены плоскостей проекций.

В результате замены одной из основных плоскостей на плоскость проекций П₄ получаем вместо старой системы плоскостей проекций П₁/П₂ новую систему П₁/П₄, если заменялась плоскость П₂ и систему (П₂/П₄), если заменялась плоскость П₁.

Например, на рис. 1.30, а, плоскость П₄ может выступать в роли фронтальной плоскости проекций П₂. На рисунке 1.30, б, фигурными скобками отмечены расстояния от точки А до горизонтальной плоскости проекций П₁. Естественно, как видно на рис. 1.30, а, эти расстояния равны А₂А₁₂=А₄А₁₄, так как высота точки А над плоскостью П₁ проецируется как на П₂, так и на П₄ в виде одинаковых отрезков. Расстояние же до П₂ и П₄ от точки А могут быть различными, поэтому А₁А₁₂А₁А₁₄.

Решение задач данным методом рассмотрим на двух примерах.

1.3.15. Определение натуральной величины (длины) отрезка общего положения

Сделать отрезок АВ прямой линии общего положения в новой системе плоскостей проекций линией уровня. Чтобы отрезок АВ стал линией уровня относительно новой плоскости проекций, заменим плоскость П₂ на плоскость П₄, параллельную АВ, и перейдем от системы П₁/П₂ к системе П₁/П₄. Новую ось проекций X₁₄, выбираем параллельно А₁В₁ (рис. 1.31). Для построения новой проекции отрезка АВ проводим новые линии проекционной связи и отмечаем на них новые проекции точек А и В. Для этого откладываем А_х1А₄=А₂А_х, В_х1В₄=В₂В_х.

Рис. 1.31. Преобразование прямой общего положения в прямую уровня.

Соединяя найденные точки, получаем новую проекцию А₄В₄ отрезка АВ. Таким образом, отрезок АВ в новой системе плоскостей проекций П₁/П₄ является линией уровня, так как А₁В₁ параллельна X₁₄, а следовательно, АВ параллельна П₄. Тогда, очевидно, что А₄В₄ является натуральной величиной отрезка АВ.

1.3.16. Определение натуральной величины плоской фигуры

Преобразовать плоскость треугольника АВС общего положения в новой системе плоскостей проекций в плоскость уровня. Чтобы плоскость треугольника сделать плоскостью уровня, надо заменить плоскость П₂ на плоскость П₄, выбрав последнюю перпендикулярной к треугольнику АВС. Таким образом, преобразуем плоскость треугольника АВС в проецирующую А₄В₄С₄. Затем заменим П₁ на плоскость П₅, параллельную треугольнику АВС. Получим новую проекцию А₅В₅С₅ треугольника АВС (рис. 1.32).

Рис. 1.32. Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня.

В новой системе плоскостей проекций П₄/П₅ треугольник АВС будет плоскостью уровня, так как X₄₅ параллельна А₄В₄С₄, а следовательно, треугольник АВС параллелен П₅. Проекция А₅В₅С₅ – натуральная величина треугольника АВС.

Отметим очевидный факт, что натуральная величина любого геометрического объекта больше каждой из его проекций.

Способ замены плоскостей проекций рационально применять при решении следующих задач:

• определение натуральной величины прямой линии;

• определение натуральной величины плоскости;

• определение кратчайшего расстояния от точки до прямой линии;

• определение кратчайшего расстояния между двумя параллельными или двумя скрещивающимися прямыми;

• определение кратчайшего расстояния от точки до плоскости.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К РАЗДЕЛУ 1

Вопрос №1

Какие точки называются конкурирующими?

а) точки, расположенные на одном проецирующем луче

б) точки, расположенные на одной плоскости проекции

в) точки, расположенные на оси проекции

Вопрос №2

Какая прямая называются прямой уровня?

а) прямая перпендикулярная какой-либо плоскости проекции

б) прямая параллельная какой-либо плоскости проекции

в) прямая не перпендикулярная и не параллельная какой-либо плоскости проекции

Вопрос №3

При каком положении плоскость проецируется на плоскость П проекций без искажения?

а) если плоскость перпендикулярна плоскости П

б) если плоскость не параллельна и не перпендикулярна плоскости П

в) если плоскость параллельна плоскости П

Вопрос №4

Как должна располагаться новая плоскость проекции, если необходимо определить длину отрезка общего положения?

а) перпендикулярно проекции отрезка и перпендикулярно одной из плоскостей проекции

б) параллельно проекции отрезка и перпендикулярно одной из плоскостей проекции

в) параллельно проекции отрезка и параллельно одной из плоскостей проекции