1.3.12. Пересечение прямой и плоскости

Задачу на пересечение прямой и плоскости можно решать с помощью вспомогательной секущей плоскости, которая должна удовлетворять следующим условиям:

а) быть плоскостью частного положения, так как именно плоскость частного положения проецируется на соответствующую плоскость проекций в виде прямой;

б) проходить через прямую, точку пересечения которой с плоскостью мы отыскиваем.

А. Рассмотрим сначала частный случай. Пусть плоскость занимает частное положение в пространстве, например, является горизонтально - проецирующей и задана треугольником АВС (рис. 1.27, а). Необходимо найти точку пересечения ее с прямой а, заданной произвольно.

Рис. 1.27. Пересечение прямой и плоскости.

Поскольку на П₁ горизонтально–проецирующая плоскость вырождается в прямую ₁, то горизонтальной проекцией точки пересечения будет К₁. Далее по линии связи на прямой а₂ (очевидно точка пересечения К принадлежит прямой а) найдем фронтальную проекцию К₂ точки пересечения.

Осталось определить видимые участки прямой а, поскольку на П₂ часть указанной прямой будет закрыта от наблюдателя плоскостью АВС. Для этого необходимо рассмотреть точку, где пересекаются фронтальные проекции а и какой-либо прямой (например, АС), лежащей в плоскости АВС. Обозначим эту точку 1₂. Но пересекаться прямая а и АВС могут только в одной точке, которую мы отыскали (К₂). Все остальные точки будут точками, где они скрещиваются. Следовательно, прямая а и АС скрещиваются в пространстве. Значит, все точки, где пересекаются их проекции, будут конкурирующими, а именно 1₂=2₂. Тогда на П₁ имеем по линии связи 1₁А₁С₁ и 2₁  а₁. Видимой является точка 2, которая принадлежит прямой а. Это сохраняется до точки пересечения К₂. Затем, естественно, участок прямой а будет невидим (обозначается пунктирной линией) до выхода из-под плоскости АВС. Теперь задачу можно считать полностью решенной.

В. Рассмотрим общий случай пересечения прямой и плоскости, когда обе они занимают общее положение в пространстве. Пусть плоскость задана треугольником АВС. Здесь и в дальнейшем используем задание плоскости в основном треугольником, так как в этом случае решение задачи наиболее наглядно. Необходимо найти точку пересечения произвольно заданной прямой в с АВС (рис. 1.27, б).

Как указано выше, нужно через прямую в провести плоскость частного положения (например, фронтально-проецирующую). Линия пересечения этой плоскости совпадает с прямой в на П_2, т.е. ₂=в₂ . Тогда по точкам пересечения 3₂ и 4₂ построим точки 3₁ и 4₁, а следовательно, и прямую 3₁4₁, являющуюся горизонтальной проекцией линии пересечения плоскости  и АВС. Но так как прямая 34АВС, то точка К₁ будет горизонтальной проекцией точки пересечения прямой в и АВС. По ней найдем и фронтальную проекцию К₂, которая, очевидно, должна быть расположена на в₂ (ведь точка пересечения принадлежит и прямой в и  АВС).

Определим видимые участки прямой в на обеих проекциях по конкурирующим точкам. Для определения видимости на П₂ используем фронтально-конкурирующие точки (например, точки 3₂=5₂, где скрещиваются в₂ и А₂В₂). Очевидно, что точка 3₁ ближе к нам, чем точка 5₁. Следовательно, на П₂ выше 3₂, тогда в этой точке А₂ В₂ выше, а в₂ лежит под ней. Это верно только до точки пересечения К₂. Далее, естественно, выше будет в₂. Аналогично по горизонтально–конкурирующим точкам (например, 6₁=7₁) определяем, что в точках 6₁=7₁ прямая В₁С₁ лежит выше, чем в₁, так как точка 7₂ расположена выше, чем точка 6₂. Невидимый участок прямой в обозначаем пунктирной линией.

В. Следует иметь в виду, что когда плоскость задана не плоской фигурой, можно говорить лишь о видимости отдельных участков прямой относительно плоскости, хотя такая постановка задачи верна и в случае плоской фигуры.

Если предыдущую задачу сформулировать несколько иначе: определить видимость участков прямой в относительно точки ее пересечения с плоскостью, которая задана АВС, а не с самим треугольником АВС, - тогда невидимые участки левее точки К₂ и правее К₁ мы должны были бы продлить до бесконечности.

Более наглядно эту особенность можно проинтерпретировать на примере (рис. 1.27, в), где плоскость задана пересекающимися прямыми а и в. Ход решения ничем не отличается от предыдущего, но невидимость участков прямой с уже не ограничена геометрическими элементами, задающими плоскость.

Таким образом, чем бы ни была задана плоскость, точку ее пересечения с прямой можно найти, используя секущую плоскость частного положения, проходящую через эту прямую, а видимость (или невидимость) на плоскостях проекций отдельных участков прямой – с помощью конкурирующих точек.