Упражнение 4. Вычислить площадь треугольника с помощью векторного произведения. Изобразить*** геометрический смысл.
Вычислить площадь
треугольника с вершинами
и
Изобразить плоскость треугольника. Как
соотносятся (алгебраически и геометрически)
площадь треугольника и векторное
произведение. Изобразить геометрический
смысл задачи по аналогии с предыдущим
упражнением.
Упражнение 5. Изучить понятие смешанного произведения. Задать три некомпланарных вектора. Свести их к общему началу. Построить на этих векторах параллелепипед и тетраэдр. Найти объем данных фигур, используя понятие смешанного произведения. Вывести формулу, связывающие эти объемы.
Отметим, что векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (которого мы здесь не касались) наряду со скалярным произведением используется не только для вычисления площадей и объёмов, но является одним из основных инструментов для исследования прямых и плоскостей в пространстве (задач на составление уравнений прямых и плоскостей, взаимное расположение прямых и плоскостей и т.д.).
3.Контрольные вопросы.
Рассмотрим определиитель
Заменим 1-й столбец произвольными числами h1, h2, h3:
.
Обосновать, доказать: почему, если вместо чисел h1, h2, h3 взять элементы 2-го или 3-го столбцов определителя, получим нули
,
?
Может ли определитель 3-го порядка не быть числом?
Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем строки заменить столбцами и наоборот (проверьте!)?
Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем строки (или столбцы) поменять местами (проверьте!)?
Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем из одной строки вычесть другую строку (проверьте!)?
Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем из одного столбца вычесть другой столбец (проверьте!)?
Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем строку умножить на число 2 (проверьте!)?
Существует ли
определитель для матрицы:
?
1. Векторное произведение двух векторов и его свойства.
2. Смешанное произведение трех векторов и его свойства.
3. Определение расстояния между векторами.