2.2.Выражение векторного произведения через координаты векторов
Пусть
– векторы, заданные своими координатами
в прямоугольной системе координат,
и
– правая тройка. Тогда:
Если разложить определитель по первой строке, то получится:
Или, что то же самое:
Это свойство очень пригодится нам в дальнейшем.
Упражнение 3. Найти векторное произведение векторов
Найти векторное
произведение векторов 
и 
с помощью определителя третьего порядка
см формулу (8) и проверить решение
стандартной функцией cross(a,b).
Вычислить определитель полученной
матрицы разложением по первой строке,
обращаясь индексами к элементам матрицы.
Проверить себя в тетради и
стандартными функциями det()
и cross(a,b)
2.3.Геометрическая смысл векторного произведения.
Найти векторное
произведение векторов
и 
.
Изобразить все данные и результат.
Первый вектор изобразить синим, второй
зеленым, результат красным. Сделать
выводы: как связаны определение векторного
произведения и то, что мы получили на
рисунке.
%Задаем векторы
a=[1,2,0];b=[2,1,0];
% Находим векторное произведение
c=cross(a,b)
% Нашли векторное произведение.
% Это будет вектор с координатами c=(0,0,-3)
% офоррмляем график, задаем коорд оси
grid on, hold on, axis square
line([-5 0 0;5 0 0], [0 -5 0;0 5 0],[0 0 -5;0 0 5],'Color','black')
% первый вектор, по умолчанию цвет - синий
line([0 1],[0,2],'LineWidth',4)
% конец вектора, по умолчанию цвет синий
plot3(1,2,0,'>','LineWidth',4)
% второй вектор
line([0 2],[0,1],'Color','green','LineWidth',4).
plot3(2,1,0,'>g','LineWidth',4)
% результат векторного произведения c=(0,0,-3)
line([0 0],[0,0],[0 -3],'Color','red','LineWidth',4)
plot3(0,0,-3,'>r','LineWidth',4) % конец вектора
plot3(5,0,0,'<k','LineWidth',2) % направление оси 0X
plot3(0,5,0,'>k','LineWidth',2) %направление оси 0Y
plot3(0,0,5,'^k','LineWidth',2) % направление оси 0Z
text(5,-0.5,0.8,'X') % подпись оси 0X
text(-0.5,5,0.8,'Y') % подпись оси 0X
text(-0.5,-1,5,'Z') % подпись оси 0Z
Как только появится графическое окно “Figure 1”, с помощью круговой стрелочки “Rotate3D” (cм. панель инструментов), разворачиваем плоскую картинку в объемную и разворачиваем изображение.
Рис. 1
Выводы: Синий
вектор
,
зеленый вектор 
и красный вектор 
образуют правую тройку. Вектор 
перпендикулярен плоскости векторов
и 
.
Изобразим
параллелограмм, натянутый на векторы
и
.
Найдем длину
вектора 
-длина вектора
равна площади параллелограмма сторонами
которого являются векторы
и
.
Изобразим плоскость параллелограмма:
Рис. 2.
% соединим штриховкой зеленый вектор – сторону параллелограмма
% и параллельную ей сторону параллелограмма
%каждый отрезок имеет начало в точке (x1, y1), конец в точке (x2,y2)
% смотрим на зеленый вектор-отрезок, задаем диапазон изменения
% начальных координат абсцисс x1
x1=0.1:0.1:1.9;
% y1 связан с x1 прямой y=x/2, поэтому
y1=x1/2;
% координаты (x2,y2) поучаются сдвигом (x1,y1) на вектор a
% (x2,y2)=(x1,y1)+a=(x1+1,y1+2)
% операция x1+1 осуществит прибавление единицы
% к каждому элементу массива x1
x2=x1+1; y2=y1+2;
line([x1; x2],[y1; y2],'LineWidth',4, 'Color',[0.8 0.1 0.7])
Получаем
Рис. 3.
Соеденив два куска программы получим:
Рис. 4
Чтобы изобразить плоскость параллелограмма, можно также воспользоваться встроенной функцией fill(). Ознакомьтесь с форматом входных аргументов в документации.
>> fill([0 2 3 1], [0 1 3 2], 'm')
Рис. 5