1.3.Вычисление определителя третьего порядка разложением по первой строке:

(это одно из свойств определителя, но пока мы будем работать с этим свойством, не вникая в его происхождение)

Команда syms (переменные записываются через пробел) позволяет работать с символьными переменными как с числами.

Пример. Работа с символьными переменными

Задача. Найти определитель квадратной матрицы A, приведя ее к ступенчатому виду. Перемножив элементы, стоящие на главной диагонали преобразованной матрицы

>> syms a b c d % вводим символьные переменные

>> A=[a b; c d]; % вводим квадратную матрицу 2х2

>> B=A; % вводим еще одну такую же квадратную матрицу 2х2

>> det(A)

ans =

a*d - b*c

% мы будем работать над матрицей А, используя матрицу В, как вспомогательну.

%очевидно, что их определители равны

>> isequal(det(A),det(B))

ans =

1

% приведем квадратную матрицу А к ступенчатому виду (под главной диагональю будет ноль)

% домножим первую строку матриц А на c, а вторую строку на a.

% в силу свойства 4, это умножение на a*c надо будет компенсировать.

>> A(1,:)=B(1,:)*B(2,1); A(2,:)=B(2,:)*B(1,1)

A =

[ a*c, b*c]

[ a*c, a*d]

>> A(2,:)=A(2,:)-A(1,:) % вычтем из второй строки первую

A =

[ a*c, b*c]

[ 0, a*d - b*c]

>> A(:,1)=A(:,1)/(a*c) % разделим первый столбец на a*c (компенсация)

A =

[ 1, b*c]

[ 0, a*d - b*c]

% найдем определитель, как перемножение элементов стоящих на главной диагонали, преобразованной матрицы A

>> determinantA=A(1,1)*A(2,2)

determinantA =

a*d - b*c

Вывод. Получили тот же самый ответ.

• Упражнение 1. Вычисление определителей III порядка

(сначала сделать упражнение письменно)

Создать квадратную матрицу размером 3х3.

Вычислить определитель матрицы А

1)по правилу Саррюса, обращаясь через индексы к элементам массива

2)разложить по первой строке, обращаясь через индексы к элементам массива

3) разложить по первому столбцу, обращаясь через индексы к элементам массива

3)сделать проверку, обращаясь к стандартной функции det()

• Упражнение 2. Свойства определителей.

• Упражнение 2. Вычисление определителей IV порядка

Создать квадратную матрицу размером 4х4.

(сначала сделать упражнение письменно)

Ранее мы учились работать со строками матрицы, пользуясь двоеточием «:». Используя данный навык, пользуясь свойством 8, нужно привести определитель к ниже треугольному виду и вычислить определитель, перемножив числа, стоящие на главной диагонали 1*q*w*r.

Обосновать новый способ..

Сделать проверку, обращаясь к стандартной функции det()

2.Векторное произведение и его геометрическая иллюстрация.

2.1.Определение векторного произведения

Три некомпланарных вектора образуют правую тройку, если они удовлетворяют следующему условию: если смотреть из конца вектора то кратчайший поворот от вектора к вектору осуществляется против часовой стрелки. Иначе – левая тройка. Система координат – правая, если базисные векторы образуют правую тройку, и левая, если – левая тройка.

Векторным произведением векторов и (обозначается или ) называется вектор такой, что выполняются условия:

1. 

2. (длина этого вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и );

3. векторы образуют правую тройку

Замечание. Очевидно, условия (1) - (3) определяют вектор однозначно. Условие (3), конечно, относится к случаю, когда векторы и неколлинеарны. Если векторы и , то условие (2) показывает, что

Свойства векторного произведения векторов:

1. (антикоммутативность);

2. (дистрибутивность);

3. (λ – любое вещественное число).

4. 

5. Условие коллинеарности векторов:

коллинеарны