Понятие соответствия
Кроме отношений на множестве, часто приходится рассматривать отношения между элементами двух множеств. Такие отношения называют соответствиями.
По своей сути соответствие между элементами двух множеств Х и Y, так же как и отношение на множестве, представляет собой множество пар и является подмножеством декартова произведения множеств X и Y.
Соответствия между конечными множествами наглядно представляются при помощи графов. Построим граф соответствия «больше» между элементами множеств X = {3, 5, 7, 9} и Y = {4, 6}. Для этого обозначим элементы данных множеств точками и проведем стрелки от точек, изображающих элементы множества Х, к точкам, изображающим элементы множества Y, при этом должно выполняться соответствие «больше». Так, стрелка должна идти от точки 5 к точке 4, поскольку 5 больше 4; должны быть стрелки, идущие от точки 7 к точкам 4 и 6, и т.д. В результате получаем граф соответствия «больше» между элементами множеств Х и Y.
Соответствия между элементами числовых множеств Х и Y представляют при помощи графика на координатной плоскости. Для этого изображают все пары чисел, находящихся в соответствии R, точками на координатной плоскости. Получившаяся при этом фигура и будет графиком соответствия R. Обратно: любое подмножество точек координатной плоскости считают графиком некоторого соответствия.
Построим график соответствия «больше» между элементами множеств Х = {3, 5, 7, 9} и Y = {4, 6}. Запишем пары чисел, находящихся в заданном отношении: (5, 4), (7, 4), (7, 6), (9, 4), (9, 6). Изобразив элементы множества Х на оси Ох, элементы множества Y на оси Oy, а каждую из получившихся пар точкой на координатной плоскости, получим график соответствия «больше» между элементами множеств Х и Y.
Такое представление соответствия позволяет наглядно изображать их в тех ситуациях, когда в заданном соответствии находится бесконечное множество пар чисел.
Рассмотрим, например, соответствие «больше» между элементами множеств X = R и Y = {4, 6} и построим его график.
В данном случае элементы множества Х сплошь заполняют ось абсцисс, а множество Y состоит из двух элементов: 4 и 6. Так как для элементов множеств Х и Y задано отношение «больше», установим, какие числа из множества Х больше 4.
Все числа, большие 4, располагаются на оси Ох вправо от точки, изображающей число 4. Значит, все точки, для которых абсцисса выбирается из промежутка (4, ), а ордината равна 4, образуют луч. Этот луч не имеет начала, поскольку точка (4, 4) графику данного соответствия не принадлежит. Аналогично все точки, для которых абсцисса выбирается из промежутка (6, ), а ордината равна 6, также образуют луч.
Соответствие, обратное данному
Пусть R – соответствие «больше» между элементами множеств X = {3, 5, 7} и Y = {4, 6}. Тогда R = {(5, 4), (7, 4), (7, 6)} и граф этого отношения будет таким, как на рисунке а). Заменим направление стрелок этого графа на обратное. Получим граф нового соответствия «меньше» (рисунок б), которое рассматривается между множествами Y и X и определяется множеством пар {(4, 5), (4, 7), (6, 7)}.
Рис. а)
Рис. б)
Соответствие, граф которого изображен на рисунке б), называется соответствием, обратным данному соответствию R, и обозначается символом R-1
В общем виде соответствие, обратное данному соответствию R определяют так.
Определение. Пусть R – соответствие между элементами множеств Х и Y. Соответствие R-1 между элементами множеств Y и X называется обратным данному, если yR-1x тогда и только тогда, когда xRy.
Соответствия R и R-1 называют взаимно обратными.
Выясним, каковы особенности графиков взаимно обратных соответствий.
Построим график соответствия R = {(5, 4), (7, 4), (7, 6)} (рис. в).
При построении графика соответствия R-1 = {(4, 5), (4, 7), (6, 7)} мы должны первую компоненту выбрать из множества Y, а вторую – из множества X. В результате график соответствия R-1 совпадает с графиком соответствия R, а это не очень удобно. Чтобы различать графики соответствий R и R-1 , условились первую компоненту пары соответствия R-1 считать абсциссой, а вторую – ординатой. Точки с координатами (х, у) и (у, х) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-его координатных углов.
Следовательно, график соответствия R-1, обратного соответствию R, состоит из точек, симметричных точкам графика соответствия R относительно биссектрисы 1-го и 3-его координатных углов.
Поэтому графиком соответствия R-1 = {(4, 5), (4, 7), (6, 7)} будет множество точек, изображенных на рисунке г).
Рис.в) Рис. г)