1.9. Понятие отношения

В математике изучают не только сами объекты (числа, фигуры, величины), но и связи, отношения между ними. Так, усвоение понятия натурального числа происходит благодаря изучению различных взаимосвязей между числами. Например, выясняется, что:

число 5 больше числа 2;

число 10 больше числа 8 на 2;

число 7 следует за числом 6, т.е. числа связаны различными отношениями: «больше», «больше на», «следует за» и другими.

В геометрии изучают параллельность и перпендикулярность прямых, равенство и подобие фигур, т.е. различные отношения между геометрическими объектами.

Сравнивая множества, мы говорим, что они пересекаются, или равны, или одно включено в другое, т.е. устанавливаем отношения между множествами.

В математике чаще всего рассматривают отношения между двумя объектами. Их называют бинарными.

Перед нами стоит задача: имея представление о конкретных отношениях между числами, геометрическими фигурами, множествами и другими объектами, установить, что общего у этих отношений, каким образом можно классифицировать такое огромное число самых разнообразных отношений. Знание этого материала нужно, чтобы изучая конкретные отношения, понимать их общность, взаимосвязи, роль в усвоении тех или иных понятий.

Рассмотрим множество чисел X = {3, 4, 5, 6, 8}. Между числами этого множества существует отношение «больше»: 4>3, 5>3, 6>3, 8>3, 5>4, 6>4, 6>5, 8>5, 8>6.

Можно рассмотреть для данных чисел и отношение «больше на 1»: «4 больше 3 на 1», «5 больше 4 на 1», «6 больше 5 на 1».

Числа данного множества связаны также отношением «меньше в 2 раза»: «3 меньше 6 в два раза», «4 меньше 8 в два раза».

Можно указать и другие отношения между числами 3, 4, 5, 6, 8.

Обратим внимание на следующее: рассматривая то или иное отношение, мы каждый раз оперировали упорядоченными парами, образованными из чисел данного множества. Для отношения «больше» было множество {(4, 3), (5, 3), (6, 3), (8, 3), (5, 4), (6, 4), (8, 4), (6, 5), (8, 5), (8, 6)}; для отношения «больше на 1» - {(4, 3), (5, 4), (6, 5)}, а для отношения «меньше в два раза» - множество, содержащее две пары: {(3, 6), (4, 8)}. Таким образом, можно сказать, что каждое из рассматриваемых отношений определяется множеством пар чисел, образованных из элементов множества X = {3, 4, 5, 6, 8}.

Известно, что упорядоченные пары - это элементы декартова произведения множеств или его подмножеств. Те множества пар, которые определяют отношения «больше», « больше на 1» и меньше в два раза», являются подмножествами декартова произведения X × X = {(3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 8), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 8), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (5, 8), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (6, 8), (8, 3), (8, 4), (8, 5), (8, 6), (8, 8)}.

Итак, каждое из рассматриваемых отношений определяется множеством пар, которое в свою очередь является подмножеством декартова произведения X × X. Само это множество пар называют отношением между элементами множества Х.

Определение. Отношением между элементами множества Х или отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения X × X.

Отношения обозначают прописными буквами латинского алфавита: P, Q, R, S и др. Следовательно, если R - отношение между элементами множества Х, то R X × X.

Отношения на конечном множестве Х можно представлять наглядно при помощи особых чертежей, состоящих из точек, соединенных стрелками. Такие чертежи называют графами.

Построим граф отношения «больше» между элементами множества X = {2, 4, 6, 8, 12} Для этого элементы данного множества изобразим точками и соединим стрелками те точки, которые изображают числа, находящиеся в отношении «больше». Поскольку 4>2, то проводим стрелку от 4 к 2; так как 6>4, то проводим стрелку от 6 к 4 и т.д., пока не переберем все пары чисел, связанных заданным отношением.

В результате получаем граф отношения «больше» для элементов множества X = {2, 4, 6, 8, 12}.

Рассмотрим теперь на том же множестве X = {2, 4, 6, 8, 12} отношение «кратно» и построим его граф.

Аналогично изобразим элементы множества Х точками и соединим стрелками те, которые изображают числа, находящиеся в отношении «кратно»: 12 кратно2, 12 кратно 4, 12 кратно 6 и т.д. Так как любое число из множества Х кратно самому себе, то граф данного отношения будет иметь стрелки, начало и конец которых совпадут. Такие стрелки на графе называют петлями.