Изображение декартова произведения двух числовых множеств на координатной плоскости
Когда множества A и B конечны и содержат небольшое число элементов, найти их декартово произведение несложно. А если множества бесконечны? В математике нашли выход из этой ситуации. Наглядное изображение декартова произведения двух числовых множеств можно получить при помощи координатной плоскости. Прямоугольная система координат позволяет каждой точке плоскости поставить в соответствие единственную пару действительных чисел – координаты этой точки. Понятие координат точек на прямой и на плоскости было впервые введено в геометрию французским ученым и философом Рене Декартом в XVII веке. Это событие явилось началом новой эры в математике – эры рождения и развития понятий функции и геометрического преобразования. По имени Рене Декарта прямоугольные координаты на плоскости называют еще декартовыми.
Но как связано с именем Декарта, жившего в XVII веке, понятие декартова произведения множеств, введенное в математику в конце XIXвека? Чтобы ответить на этот вопрос, выясним сначала, как используют прямоугольную систему координат для наглядного представления декартова произведения двух числовых множеств.
Пусть А и В – числовые множества. Тогда элементами декартова произведения этих множеств будут упорядоченные пары чисел. Изобразив каждую пару чисел точкой на координатной плоскости, получим фигуру, которая и будет наглядно представлять декартово произведение множеств А и В.
Изобразим на координатной плоскости декартово произведение множеств А и В, если:
1) А = {1, 2, 3}, B = {3, 5};
2) A = {1, 2, 3}, B = [3, 5];
3) A = [1, 3], B = [3, 5];
4) A = R, B = [3, 5];
5) A = R, B = R.
В случае 1 данные множества конечны и содержат небольшое число элементов, поэтому можно перечислить все элементы их декартова произведения: А × В = {(1; 3), (1; 5), (2; 3), (2; 5), (3; 3), (3; 5)}.
Построим оси координат и на оси Ox отметим элементы множества А, а на оси - элементы множества В. Затем изобразим каждую пару чисел из множества А × В точкой на координатной плоскости. Полученная фигура из шести точек и будет наглядно представлять декартово произведение множеств А и В (рис. 1).
В случае 2 перечислить все элементы декартова произведения множеств невозможно, поскольку множество В бесконечное. Но можно представить процесс образования этого декартова произведения: в каждой паре первая компонента либо 1, либо 2, либо 3, а вторая компонента – действительное число из промежутка [3; 5]. Все пары, первая компонента которых есть число 1, а вторая пробегает значения от 3 до 5 включительно, изображаются точками первого отрезка. Аналогично строятся два других отрезка (рис. 2).
Случай 3 отличается от рассмотренного случая 2 тем, что здесь бесконечно не только множество В, но и множество А. Это приводит к тому, что первой компонентой пары, принадлежащей множеству А × В, могут быть не только концы промежутка [1; 3], но и любое число этого промежутка. Поэтому точки, изображающие элементы декартова произведения множеств А и В, образуют квадрат (рис. 3). Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются точками квадрата, его можно заштриховать.
Случай 4 отличается от предыдущего тоем, что множество А состоит из всех действительных чисел, т.е. абсцисса точек, изображающих элементы множества А × В, пробегает все действительные значения, в то время как ордината выбирается из промежутка [3; 5]. Множество таких точек образует полосу (рис. 4).
Декартово произведение R×R (случай 5) состоит из всевозможных пар действительных чисел. Точки, изображающие эти пары, сплошь заполняют координатную плоскость. Таким образом, декартово произведение R×R содержит столько же элементов, сколько множество точек координатной плоскости.
Рассмотренные примеры показывают, что название «декартово произведение множеств» не случайно: в нем отражена тесная связь между множеством упорядоченных пар чисел и его представлением в декартовой прямоугольной системе координат.