Пересечение множеств
Пусть даны два множества:
A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – множество натуральных делителей числа 12;
B = {1,3, 6, 9, 18} – множество натуральных делителей числа 18.
Образуем множество, состоящее из общих элементов этих множеств. Полученное множество {1, 3, 6} называют пересечением множеств А и В.
Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее только из тех элементов, которые принадлежат множеству А и множеству В одновременно.
Пересечение
множеств А и В обозначают символом
.
Аналогично определяется пересечение трех и более множеств.
Определение пересечения множеств можно записать в виде:
= { и }.
Если множества А и В изобразить кругами Эйлера, то пересечению будет соответствовать заштрихованная часть.
а)
б)
в)
Разность двух множеств
Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.
Разность множеств А и В обозначают символом А В.
Определение разности можно записать в таком виде:
A\B
= {
и
}.
Если множества А и В изобразить кругами Эйлера, то разности множеств соответствует заштрихованная часть.
Если множество В является подмножеством множества А, то разность множеств А и В называется дополнением множества В до множества А.
1.6. Число элементов множества
Если А – конечное множества, то в ряде случаев можем подсчитать число элементов, которые составляют множество А.
Это число обозначают так: n(A).
A = {12, 25, 47, 84}, n(A) = 4, т.е. множество А содержит 4 элемента.
Если заданы конечные множества А и В, не имеющие общих элементов, то число элементов в их объединении определяют по формуле:
Если заданы конечные множества А и В, имеющие общие элементы, то число элементов в их объединении подсчитывают по формуле:
Формула для числа элементов объединения трех множеств выглядит несколько сложнее:
Используя эту формулу, можно проще решить некоторые задачи.
Пример. В спортивных соревнованиях участвует школьная команда из 20 человек, каждый из которых имеет спортивный разряд по одному или нескольким из трех видов спорта: легкой атлетике, плаванию и гимнастике. Известно, что 12 из них имеют спортивные разряды по легкой атлетике, 10 – по гимнастике и 5 – по плаванию. Сколько школьников из этой команды имеют разряды по всем видам спорта, если по легкой атлетике и гимнастике разряды имеют 4 человека, по легкой атлетике и плаванию – 2 человека, по плаванию и гимнастике – 2 человека?
Пусть А – множество учащихся, имеющих разряды по легкой атлетике, В – множество учащихся, имеющих разряды по гимнастике, и С – множество школьников, имеющих разряды по плаванию.
По условию задачи имеем:
Надо найти
.
По формуле для
числа элементов в объединении трех
множеств имеем:
Таким образом, из 20 школьников, участвующих в спортивных соревнованиях, имеет разряды по всем видам спорта только один человек.
Рассмотрим следующий пример.
В научно-исследовательском институте работают 67 человек. Из них 47знают английский язык, 35— немецкий язык и 23 — оба языка. Сколько человек в институте не знают ни английского, ни немецкого языков?
Для решения этой задачи надо разбить весь коллектив сотрудников института на части, не имеющие общих элементов. Первую из них составят те, кто знает только английский язык, вторую — те, кто знает только немецкий язык, третью — те, кто знает оба языка, и четвертую — те, кто не знает ни одного, ни другого языка. Нам дано, что третья часть состоит из 23 человек. Но так как английский язык знают 47 человек, то только английским языком владеют 47-23=24 человека. Точно так же только немецким языком владеют 35-23=12 человек. Отсюда следует, что общее число людей, владеющих одним из этих языков, равно 23+24+12=59 человек. А так как всего в институте работают 67 человек, то на долю последней части приходится 67-59=8 человек. Итак, 8 человек не знают ни английского, ни
немецкого языка.
Полученный ответ можно записать в виде
8 = 67-(23 + 24+12).
Но 24 мы получили, вычитая 23 из 47, а 12 — вычитая 23 из 35. Поэтому
8 = 67-23-(47-23)-(35-23) = 67-47-35+23.
Теперь видна закономерность — из общего числа сотрудников вычитается число знающих английских язык 24 и число знающих немецкий язык. При этом некоторые сотрудники попадают в оба списка и оказываются «вычтенными» дважды. Это как раз те полиглоты, которые знают оба языка. Прибавляя их число, мы получаем число лиц, не знающих ни одного из этих языков.
Теперь видна закономерность: из общего числа сотрудников вычитается число знающих английских язык 24 и число знающих немецкий язык. При этом некоторые сотрудники попадают в оба списка и оказываются «вычтенными» дважды. Это как раз те полиглоты, которые знают оба языка. Прибавляя их число, мы получаем число лиц, не знающих ни одного из этих языков.