1.3. Понятие подмножества

Рассмотрим множество A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Выделим из множества A те его элементы, которые являются простыми числами. Получим множество B = {2, 3, 5, 7}, все элементы которого являются элементами множества A. В этом случае говорят, что B – подмножество множества А.

Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А. Обозначают .

Например, множество натуральных чисел есть подмножество множества целых чисел.

Пустое множество считается подмножеством любого множества. Подмножество данного множества может и совпадать с данным множеством. Это непосредственно следует из определения подмножества данного множества.

Само множество и пустое множество называют несобственными подмножествами данного множества. Все остальные подмножества данного множества называют собственными.

Например. Составить все возможные подмножества множества K = {2, 3, 5}.

Несобственные: A = {5, 3, 2}, B = ∅.

Собственные: C = {5; 2}, D = {5; 3}, E = {2, 3}, F = {5}, M = {3}, P = {2}.

Для наглядного изображения множества английский математик Джон Венн (1834 – 1923) предложил использовать замкнутые фигуры на плоскости (круги, овалы и др.). Немного раньше Леонард Эйлер (1707 – 1783) для изображения отношений между множествами использовал круги. Точки внутри круга считаются элементами множества. Позднее такие изображения получили названия диаграмм Эйлера – Венна. Мы в дальнейшем схемы для иллюстрации отношений между множествами будем называть короче – кругами Эйлера.

1.4. Отношения между множествами

Об отношениях между множествами судят по количеству общих элементов этих множеств.

Отметим две возможности.

1. Множества А и В не имеют общих элементов. На диаграммах Эйлера-Венна нет точек (элементов), которые принадлежали бы одновременно А и В (рисунок 1).

2. Множества А и В имеют общие элементы, т.е. существуют элементы, которые одновременно принадлежат и множеству А, и множеству В. При этом возможны три случая.

1. Не все элементы множества А принадлежат множеству В, и не все элементы множества В принадлежат множеству А. В этом случае говорят, что множества А и В находятся в отношении пересечения. Кругами Эйлера это отношение изображается так, как показано на рисунке 2.

2. Все элементы множества В принадлежат множеству А, но множество А может содержать элементы, не принадлежащие множеству В. Множество В является подмножеством множества А. В этом случае говорят, что множества В и А находятся в отношении включения. Кругами Эйлера такое отношение изображено на рисунке 3.

3. Все элементы множества А принадлежат множеству В, и все элементы множества В принадлежат множеству А. В этом случае множества равны или совпадают (рисунок 4).

1.5. Операции над множествами

1. Объединение множеств

Пусть даны два множества: A = {15, 30, 45 60, 75} – множество двузначных чисел, кратных 15; B = {18, 36, 54, 72, 90} –множество двузначных чисел, кратных 18.

Образуем новое множество, состоящее из элементов этих множеств. Полученное множество {15, 18, 30, 36, 45, 60, 72, 75, 90} называется объединением множеств А и В. Число 90 записали один раз, поскольку в записи множеств элементы не должны повторяться.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному их этих множеств.

Объединение множеств А и В обозначается символом .

Аналогично определяется объединение трех и более множеств.

Определение объединения множеств А и В можно записать в виде:

= { или }.

На рисунке изображено объединение множеств А и В с помощью кругов Эйлера. Вся заштрихованная область – это множество А В.