- •1. Теоретические сведения некоторых разделов теории множеств
- •1.1. Основные понятия и определения
- •1.2. Способы задания множеств
- •1.3. Понятие подмножества
- •1.4. Отношения между множествами
- •1.5. Операции над множествами
- •1. Объединение множеств
- •Пересечение множеств
- •Разность двух множеств
- •1.6. Число элементов множества
- •1.7. Декартово произведение множеств
- •Изображение декартова произведения двух числовых множеств на координатной плоскости
- •1.9. Понятие отношения
- •1.10.Способы задания отношений
- •1.11. Свойства отношений
- •Понятие соответствия
- •Соответствие, обратное данному
- •Взаимно однозначные соответствия
- •Практические задания к некоторым главам теории множеств
- •2.1. Практические упражнения по теме «способы задания множеств. Операции над множествами»
- •П рактические упражнения по теме «декартово произведение множеств. Графическое изображение декартова произведения»
- •Практические упражнения по теме «отношения между элементами множества. Способы задания отношений»
- •2.4. Практические упражнения по теме «свойства отношений »
- •2.5.Практические упражнения по теме «соответствия. Взаимно однозначные соответствия»
2.4. Практические упражнения по теме «свойства отношений »
На множестве Х = {1, 2, 4, 8, 12} задано отношение «х кратно у». Постройте его граф и сформулируйте свойства данного отношения.
Чем отличается граф отношения «х –делитель у», заданный на множестве Х (см. упр. 1), от графа отношения «х кратно у»? Есть ли отличия в свойствах этих отношений?
Обладает ли свойством рефлексивности отношение «кратно», заданное на множестве В = {0, 2, 4}?
На множестве Х = {2, 3, 4, 5, 6} заданы отношения «больше» и «больше или равно». Постройте графы и сформулируйте свойства данных отношений. Какое из них обладает свойством рефлексивности и почему?.
Каковы свойства отношений «больше в 2 раза» и «больше на 2», заданных на множестве Y = {2, 4, 6, 8, 12}? В чем сходство графов данных отношений?
Построили граф отношения R, и оказалось, что он имеет стрелку, идущую от элемента a к элементу b и от элемента b к элементу c, а стрелки, идущей от a к c, нет. Может ли отношение быть транзитивным? Почему?
Х – множество прямых плоскости. Какое из следующих отношений является отношением эквивалентности на этом множестве: 1) «х параллельна у»; 2) «х перпендикулярна у»; 3) «х пересекает у»?
На множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 4». Сколько классов эквивалентности определит данное отношение? Запишите эти классы, назовите по одному представителю каждого класса.
Объясните, почему отношение равенства отрезков является отношением эквивалентности, а отношение «короче» не является.
На множестве Х = {213, 37, 21, 87, 82} задано отношение Р – «иметь в записи одинаковые цифры». Является ли Р отношением эквивалентности?
Отношение Т – «иметь одно и то же число делителей» задано на множестве {1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11}. Покажите, что Т – отношение эквивалентности, запишите все классы эквивалентности.
На множестве целых чисел от 0 до 999 задано отношение Р – «иметь в записи одно и то же число цифр». Покажите, что Р – отношение эквивалентности. На сколько классов оно разбивает данное множество чисел? Назовите наименьший и наибольший элементы каждого класса разбиения.
Сколько классов эквивалентности определяет на множестве натуральных чисел отношение «оканчиваться одной и той же цифрой»? Назовите по одному представителю каждого класса.
Х – множество отрезков. Какие из следующих отношений являются отношениями порядка на этом множестве: 1) «х равно у»; 2) «х длиннее у»; 3) «х короче у на 2см»; 4) «х длиннее у в 3 раза». Упорядочивает ли множество Х отношение «меньше или равно»? Постройте граф этого отношения.
Упорядочивает ли множество натуральных чисел отношение «следовать за»? А отношение «непосредственно следовать за»?
М – множество окружностей на плоскости, R – отношение «окружность х лежит внутри окружности у». Упорядочивает ли данное отношение множество М?