Тордың қалыпты тербеліс спектрі

Тор тербелістері теориясы сұрақтарының ең бастысы қалыпты тербелістердің жиілік бойынша таралуы болып табылады.

Ең қарапайым сызықты атомдар тізбегінің қалыпты тербелістерін қарастырайық. Осындай сызықты атомдар тізбегінде пайда болуы мүмкін толқындар ұзындығы (5.1-сурет) мынаған тең:

, мұндағы .

( – тізбек ұзындығы, – ондағы атомдар саны). Ендеше, қалыпты тербелістер саны: әртүрлі толқын ұзындықтар үшін: . Көлемі -ге тең үш өлшемді кристалда ( ): . Қатты денелерде көлденең толқындардан басқа, қума толқындар да пайда болуы мүмкін. Нақты мәнді мына теңдеу береді: .

Нақты кристалдардағы атомдар саны өте үлкен, ендеше . Сондықтан, қалыпты тербелістер саны үздіксіз функциямен cипатталады:

-дан -ға ауысамыз: . .

шамасы– қалыпты тербелістер тығыздығы, яғни бірлік жиілік интервалындағы қалыпты тербелістер саны.

(5.2)

Бұл ізделініп отырған қалыпты тербелістердің жиілік бойынша таралу

функциясы. Мынаны ескеру керек (жиілік жоғары болған сайын,

қалыпты тербелістер тығыздығы да үлкен болады).

Дебай температурасының сипаттамасы

Қалыпты тербелістердің толық санын мына түрде табуға болады: . Басқа жағынан, қалыпты тербелістердің жалпы саны . Сонымен: ; .

-ды деп белгілейміз (Дебайдың сипаттамалық жиілігі).

Аламыз:  . (5.3)

(5.3)-ті апарып, (5.2)-ге қоямыз:

(5.4)

(5.2) –дегі мына шаманы деп белгілейміз:

, (5.5)

мұндағы – кристалдағы атомдар концентрациясы. (5.2) және (5.3) теңдеулер есептер шығару үшін қолайлы, сондықтан қолданылады.

Кез-келген тербелетін дене сияқты, тербелетін атомның энергиясы бар. Қалыпты тербелістер дегеніміз шын мәнінде кристалдағы тұрғын толқындар, олардың энергиялары квантталады. Бұған ең алғаш рет Эйнштейн көңіл бөліп, қалыпты тербеліңстер энергиясы тең деп алды. Енжеше осциллятордың (тербелетін атом) максимал энергиясы . Осы энергияны температура арқылы өрнектеуге болады:

 . (5.6)

– Дебайдың сипаттамалық температурасы. Оның физикалық мағынасы: қатты денеде температура -ге тең болғанда барлық тербелістер, барлық спектр, -да қозады. болғанда жаңа тербелістер пайда болмайды. Мұндағы К.

Мысалдар:  К,  К,  К. Қатты дене физикасында -ді жоғары температуралар аймағы деп атайды, бірақ та бұл ! болуы мүмкін. Бұл аймақта -ның артуы тек қана тербелістер амплитудасының артуына алып келеді.

Гармоникалық осциллятор. Фонондар

Гармоникалық осциллятор (ГО) деп квази серпімді күштер әсерінен бірөлшемді қозғалыс жасай алатын бөлшекті айтады. Көптеген модельдерде тербелетін атомдар шын мәнінде гармоникалық осциллятор ретінде қарастырылады. Гармоникалық осциллятордың потенциалық энергиясы ( – серпімділік коэффициенті), гармоникалық осциллятордың меншікті жиілігі . Осыны ескерсек . Бірөлшемді жағдайда Шредингердің стационар теңдеуі мына түрде болады:

, (5.7)

мұндағы – осциллятордың толық энергиясы. Толық энергияның меншікті мәндері

, мұндағы (5.8)

Гармоникалық осциллятор деңгейлері эквидистантты, яғни бір-бірінен тең ара қашықтықта орналасқан (5.2-сурет). Энергияның ең аз мөлшері нөлдік энергия деп аталады. Нөлдік энергияның болуы анықталмағандық қатынасынан шығады. Осциллятордың толық энергиясына арналған классикалық өрнек:

;

Яғни, және бір мезгілде нөлге тең бола алмайды, осциллятор энергиясы нөл болуы мүмкін емес.

Н өлдік энергияның бар екендігін төменгі температураларды кристалдардан жарықтың шашырауына жасалған тәжірибелер дәлелдеді. Шашыраған жарықтың қарқындылығы температура төмендеген сайын нөлге ұмтылмайды, ал қандай да бір шекті мәнге ұмтылады екен. Бұл жуық температурада да атомдар тербелістерінің тоқтамайтынын көрсетеді.

Кванттық механика әртүрлі үрдістердің ықтималдығын есептеуге мүмкіндік береді. Көршілес деңгейлер арасында ғана өтулер болуы мүмкін, яғни гармоникалық осциллятор үшін таңдап алу ережесі мынадай: .

Гармоникалық осцилятор энергиясы үлес түрінде -ге өзгеріп отырады. Кванттық механика микробөлшектердің кез келген өзара әсерлесулерін бөлшектермен алмасуға негізделген (электромагниттік өзара әсерлесулерде – фотондармен алмасу, күшті өзара әсерлесулер – пиондармен (немесе кварктік модельдерде глюондармен) және т.б.) микробөлшектердің мінез-құлығын сипаттайтын теория.

Кванттық механикада кристалдық тордағы атомдар арасындағы энергия алмасу квазибөлшектер –фонондармен болады.

Осцилляторлар алмасатын қалыпты тербелістер энергиясының минималь порциясы –фонондар деп аталады. Фонондар – квази бөлшектер, оларды кристалдан бөліп алуға болмайды. Бірақ та, фонондар кәдімгі бөлшектер сияқты энергия мен импульске ие. Кристалл арқылы өтетін дыбыс толқындар жүйесі кванттық тұрғыдан кристалды толтырып тұрған фонондық газға эквивалентті. Фонондар – бозондар, олар Паули принципіне бағынбайды және Бозе-Эйнштейн статистикасымен сипатталады (5.3-сурет). , .

Шынында да энергияcы -ге тең фонондардың орташа саны, бірақ та -ді -ге көбейтіп, фонондардың орташа санын ааламыз:

. (5.9)

Фонондар энергиясын қалыпты тербелістер энергиясымен шатастыруға болмайды: фонон – тербелетін атомдардың бір-бірімен ауыстыратын энергиясы. Осциллятордың бөлінбейтін бөлігі бар, ол нөлдік тербелістер, сондықтан қалыпты тербелістердің орташа энергиясы мынаған тең :

. (5.10)