Кристалдық тордағы электрондардың динамикасы. Эффективті масса
Қозғалыстағы
электрондарға металдарда зарядталған
бөлшектердің ішкі өрісімен қоса, сыртқы
электр өрісі де әсер етеді. Ішкі энергияны
және оның электрондарға әсерін ескеру,
есептеу өте қиын. Сондықтан, еркін
электрондарға жуықтау тәсілін қолданамыз.
Осыны қарастырайық. Біз кез келген
бөлшектің, соның ішінде электронның
толқын түрінде қозғалатынын білеміз.
Нақты бөлшекті бірнеше толқынның
қосындысынан пайда болған толқындық
пакет
түрінде
сипаттауға
болады. Толқындық
пакеттің
қозғалыс жылдамдығы бұл топтық жылдамдық:
,
мұндағы
-
толқынның дөңгелектік жиілігі,
-
толқындық сан,
.
Толқындық
пакеттің
энергиясы
,
.
(4.1)
Кристалға
кернеулігі
-ге
тең сыртқы электр өрісімен әсер етсек,
ол электронға
күшпен әсер етеді, ал бұл күштің жұмысы
мынаған тең болады:
.
Біз ішкі электр өрісінің шамасын
білмейміз, ол электронның қорытқы
энергиясын арттырмайды, себебі көптеген
бөлшектер өрісінен тұратын ішкі энергия
әсерінен бағытталған қозғалыс жоқ.
Сыртқы электр өрісінің жұмысы электрон
энергиясын арттыруға жұмсалады:
;
Þ
Þ
.
(4.2)
4.1 теңдеуді уақыт бойынша дифференциалдап, үдеуді аламыз:
.
Бұл
теңдеуді мына түрде жазамыз:
:
(4.3)
-
бұл шаманы эффективті масса деп атайды.
Бұл
шаманы енгізу электронның тормен
байланысын ескермеуге
және электрон қозғалысы тек сыртқы өріс
әсерінен ғана болады деп сипаттауға
мүмкіндік береді. Электронның эффективті
массасы бар, ендеше ол - еркін бөлшек,
ал осы тәсіл еркін электронға жуықтау
тәсілі болып табылады. Эффективті масса
кристалдық тордың әсеріне байланысты
және нақты электрон массасы
-нен
күшті ерекшеленеді, тіпті кейде теріс
шамаға да ие болады. Мысалы, германий
электронының эффективті массасы
,
ал кремнийдікі
.
Металдардың электрөткізгіштігі
Электрөткізгіштіктің негізгі ұғымдары мен заңдарын еске түсірейік.
Ом
заңы:
,
(4.4)
мұндағы
-
ток тығыздығы,
-
меншікті электрөткізгіштік,
-
электр өрісінің кернеулігі.
Тағы бір теңдеуді қарастырайық:
(4.5)
мұндағы
-
заряд тасушылар концентрациясы,
-
дрейфтік жылдамдық, зарядталған
бөлшектердің бағытталған қозғалыс
жылдамдығы.
Заряд тасушылар қозғалғыштығы
(4.6).
Осыны (4.5) қойсақ, онда j = enвE* тең болады, енді оны (4.1) салыстырып, табамыз
(4.7)
екенін
ескерсек, мүндағы
-
өткізгіштің меншікті кедергісі,
,
,
См
– сименс.
Кванттық-
механикалық есептеулер көрсеткендей,
идеал кристалдық торда қозғалған
электрондар кедергіге ұшырамауы қажет
(электрон үшін де Бройль толқынының
ұзындығы
,
мұндағы
-
кристалдық тордың тұрақтысы). Бірақ
та, кристалдық тор ешқашан да идеал
болмайды: атомдағы жылулық тербелістер
әсерінен тордың периодтылығы аздап
бұзылуы мүмкін.
Металдар
үшін
анықтайтын өрнекті табайық. Сыртқы өріс
болмаған кезде
(ток жоқ), ал
.
болған кезде металдағы ток шексіздікке
дейін өспейді, орныққан күйде
.
Электрондарға
күшінен басқа, үйкеліс күші де әсер
етеді.
,
мұндағы
– үйкеліс коэффициенті. Электронның
қозғалыс теңдеуі мына түрде болады:
.
(4.8)
Егер,
стационар күй орныққан кейін сыртқы
өрісті
өшірсек,
кеми бастайды. Жылдамдықтың кему заңын
табайық, себебі
,
ендеше:
.
Бұл теңдеудің шешімі мынаған:
(4.9)
мұндағы
– сыртқы өрісті өшірген кездегі дрейфтік
жылдамдық..
-
релаксация уақыты деп алсақ, онда осы
уақыт ішінде
(ток)
есе кемиді. Үйкеліс күші:
.
орныққан
мәнін
шарты арқылы табуға болады ( 4.8-қара),
сонда:
,
осыдан
.
(4.10)
Стационар режимде токтың тығыздығы ( ),
(4.11)
(4.12)
Друде-Лоренцтің классикалық теориясы бойынша электрөткізгіштік теңдеуі:
,
(4.13)
мұндағы
m
– электрон
массасы,
– еркін
жол жүру уақыты - электронның кристалдық
тор түйіндерімен көршілес екі соқтығысу
аралығына кеткен уақыты. Классикалық
теория бойынша
,
мұндағы
– кристалдық тордың тұрақтысы,
– электрондардың хаосты жылулық қозғалыс
жылдамдықтары, ол
«a»
температураға тәуелді емес, бірақ
~
,
онда
~
және
~
.
Кванттық
теория бойынша электр өткізгіштікке
Ферми деңгейіне жақын орналасқан
электрондар ғана қатысады, бұл
электрондардың жылдамдықтары
,
яғни температураға байланысты емес.
Екінші жағынан
,
мұндағы
– еркін жол ұзындығының орташа мәні.
Теория бойынша
~
,
ендеше
~
,
және
~
болады.
4.3-сурет Әртүрлі қоспалары бар мыс үлгілерінің меншікті кедергісінің
температураға тәуелділігі: 1-таза, деформацияға ұшырамаған үлгі;
2-
;
3- деформацияға ұшыраған үлгі; 4-
;
5-
Тәжірибелер нені көрсетеді? 4.3 - суретте мыстың әртүрлі үлгілерінің меншікті кедергілерінің температураға тәуелділігін өлшеу нәтижелері көрсетілген. Осы және басқа да өлшеулерді негізге ала отырып, Маттисен металдар кедергілерінің аддитивті табиғатын сипаттайтын теңдеуді енгізді:
,
(4.14)
мұндағы
-
тордың жылулық қозғалысы тудыратын
үйкеліс;
-
қоспалар атомдары әсерінен тордың
периодтылығының өзгерісі тудыратын
үйкеліс;
-
үлгінің деформациясы әсерінен болатын
үйкеліс. Кристалдық тор периодтылығының
кез-келген бұзылуы
өсуіне алып келеді, бұл кезде
және
температураға байланысты емес.
Осы
суреттен
арасындағы байланыстың сызықты екендігі
көрініп тұр, яғни тәжірибе (2.2.9) теңдеудің
дұрыстығын растайды. Сондықтан,
кристалдық тордың көршілес екі бұзылулары
арасындағы электронның жүріп өткен
жолы.