Азғындалған газ фермиондарға арналған таралу функциясы. Ферми-Дирак таралу функциясы
Бұл функцияны бір біріне байланыссыз 1926 жылы Э. Ферми мен П. Дирак алды:
(3.26)
мұндағы – бөлшектің толық энергиясы.
Жалпы
алғанда, таралудың барлық түрлерінде
бөлшектің өзінің химиялық потенциалы
болуы қажет. Әртүрлі ұжымдарды бөлшектер
санының бірге өзгеруі ішкі энергияның
әртүрлі өзгерісіне алып келеді.
Фермиондарға арналған химиялық потенциал
- Ферми энергиясы
деп аталады. Шынында да:
(3.27)
(
температурадағы идеал азғындалған
фермиондар үшін
-ге
тең).
Ферми-Дирак
(Ф-Д) функциясын толық сипаттау үшін
температурадағы азғындалған электрондық
газды қарастырамыз:
а)
.
б)
.
Сонымен, температурада Ф-Д функциясы 3.4 а-суретте кескінделген.
Энергиясы
барлық күйлер толығымен толтырылған
(олардың толтырылу ықтималдығы бірге
тең), ал
барлық күйлер бос (толтырылу ықтималдығы
нөлге тең). Бұл әсіресе металдағы
электрондарда ерекше көрініп тұр (3.4
в-сурет).
үшін
толық таралу функциясы
сияқты:
,
себебі
;
егер
және
болса, онда
,
3.4 б- суретті қара.
Ф-Д
функциясы Ферми энергиясының мағынасын
түсінуге мүмкіндік береді: егер
және
болса, онда
.
– толтырылу ықтималдығы
-ге
тең күй энергиясы.
Өте
терең талдау барысында Ферми энергиясы
- абсолют нөл температурадағы электронның
максимал кинетикалық энергиясы деген
қорытындыға келуге болады. Ферми
энергиясы кванттық табиғатқа ие, ол
хаосты жылулық қозғалыс энергиясы емес,
ол - кинетикалық энергия. Металдағы
электрондар үшін
температурадағы Ферми энергиясының
мәнін табайық.
болғанда,
және толық таралу функциясы:
(3.28)
Электрондардың
толық санын табу үшін (3.29) теңдеуді 0-ден
-ке
дейін интегралдаймыз:
(3.29)
Электрондар
концентрациясы
:
(3.30)
осыдан
(3.31)
Металдағы электрондардың концентрациясы шамамен алғанда м–3 тең, осыны (3.31) қойып, аламыз:
Сонымен
-тің мәні бірлік
-ке
тең. Бұдан да нақты мәндер:
үшін
эВ,
үшін
эВ, К
(калий) үшін
эВ,
үшін
эВ,
үшін
эВ және т.б.
Энергиясы
эВ
тең электрондар жылдамдығы:
.
Бұл
!
Металдар
үшін Ферми энергиясына сәйкес келетін
температура- азғындалу температурасы
(3.4 в –суретті қара):
.
(3.32)
үшін,
мысалы
К.
Сонымен, шынында да, металдағы электрондар булану температурасынан төмен кез- келген температурада азғындалған ұжым.
Ферми-Дирак
таралуына температураның тигізетін
әсері.
Т
емпература
жоғарылаған сайын электрондар жылулық
қозғалысқа түседі де, жоғарғы энергетикалық
деңгейлерге өтеді (3.5 а- сурет). Сонымен
қоса, электрондардың күй бойынша
орналасуы да өзгеріске ұшырайды.
(бұл үнемі болып тұрады деуге болады)
болатын температура аралығында тек
Ферми деңгейіне жақын орналасқан
электрондар ғана жылулық қозғалысқа
түседі. Төменгі деңгейлердегі электрондар
ешқандай өзгеріске түспейді, себебі
оларды жоғарырақ бос деңгейлерге
ауыстыру үшін
энергиясы жеткіліксіз. Таралу функциясының,
сонымен бірге толық таралу функциясының
(3.5 б,в-суреттер) соңында да біраз таралу
болады. Қозуға ұшырайтын электрондар
үлесі мынаған тең:
.
Бөлме
температурасында (
)
.
Электрондардың
ғана қозады, яғни
деңгейден жоғары деңгейлерге ауысады.
Тіпті температураны 4 есе арттырсақ
та, яғни
температурада
тең. Сонымен, барлық мүмкін температураларда
электрондардың 2 % ғана жылулық қозуға
ұшырайды. Осыдан, металдағы электрондар
жұмыс температурасы диапозонында
азғындалған ұжым және олардың таралу
функциясының
температурадағы таралу функциясынан
айырмашылығы елеусіз аз деген қорытындыға
келуге болады.
Электрондар
деңгейлерге өткенде Ферми деңгейінің
өзі де жоғары көтеріледі. Осы есепті
шешу үшін мына теңдеу қолайлы:
,
(3.33)
мұндағы
–
болғандағы
Ферми энергиясы.