Таралу функциясы

Ұжым күйін сипаттау үшін оның термодинамикалық параметрлерін көрсету керек. Ұжымдағы бөлшектердің күйін білу үшін, олардың координаталары мен импульстерінің құраушыларын (немесе координаталар және импульстермен анықталатын бөлшектер энергияларын) көрсету қажет.

Осы екі түрлі шамалар арасындағы байланыс статистикалық таралу функциясы көмегімен іске асады, оны көбінесе энергия арқылы жазады:

(3.6)

Ол жүйедегі энергиялары ден -ге дейінгі бөлшектер санын көрсетеді, ал бөлшектердің күйі және параметрлерімен беріледі. Осындай функцияны толық статистикалық таралу функциясы деп атайды. Жазылуды жеңілдету үшін және белгіленулері индекс түрінде жазылады.

Толық таралу функциясын интервалына сәйкес келетін күйлер саны -нің осы күйлердің бөлшектермен толтырылу ықтималдығы көбейтіндісі ретінде де көрсетуге болады:

(3.7)

Көбінесе толық таралу функциясын деп те жазады, оны (3.7) теңдеуінің екі жағын да -ге қысқарту арқылы алуға болады.

Физикада осы - таралу функциясы деп атайды. толтырылу ықтималдығы, сонымен қоса энергиясы -ге тең бір күйдегі бөлшектердің орташа санын да көрсетеді.

Мысалы. Жатақханадағы студенттердің толық таралу функциясын анықтау үшін этаждардағы бөлмелердің таралу функциясы -ны осы бөлмелердің толтырылу ықтималдылығы -ге көбейтеміз.

Микробөлшектердің фазалық кеңістігі және оның квантталынуы туралы ұғым

Классикалық механикада бөлшектердің күйі берілген координаталар ( ) және импульстің осы координаталардағы проекциялары ( ) анықталады. Координаталары ( , ) алты өлшемді кеңістік фазалық кеңістік деп аталады. Фаза – «күй» сөзінің синонимі, сондықтан фазалық кеңістік – күй кеңістігі.

Бөлшектер күйінің болмашы өзгерісі кезінде былай жазуға болады:

(3.8)

Классикалық бөлшектерде координаталар мен импульс проекциялары үзіліссіз өзгереді, сондықтан , ал онымен қоса -нің де өте аз болуы әбден мүмкін. Ал кванттық бөлшектерді қарастырсақ, онда олардың толқындық қасиеттерін де ескеру керек. Ол кезде Гейзенбергтің анықталмағандық принципін , ескермеуге болмайды. Ендеше , яғни координата мен импульстің өзгерісі секірмелі түрде болады. Бөлшек бір фазалық кеңістік ұяшығынан екінші фазалық кеңістік ұяшығына секіреді деп есептейміз. Осыдан кванттық бөлшектер үшін фазалық кеңістік ұяшықтарға бөлінеді, ең минимал ұяшық ; немесе

(3.9)

(Фазалық кеңістіктің бұл ұяшығы бөлшектің спинін ескермейді).

Фазалық кеңістіктің соңғы шама ұяшықтарға бөліну процесі фазалық кеңістіктің квантталуы деп аталады.

Күй тығыздығы

Б өлшектері өзара әсерлеспейтін және сырттан ешқандай өріс әсер етпейтін жүйелер үшін бөлшектердің потенциалық энергиялары нөлге тең (бөлшектердің координаталарына байланысты емес). Олар еркін бөлшектер деп аталады. Оларға үш өлшемді импульстер кеңістігін қолданған ыңғайлы. Бұл жағдайда – бөлшек қозғалып жүрген көлемге тең.

Сонымен, -ге тең еркін бөлшек үшін үш өлшемді импульстер ұяшығы мынаған тең:

(3.10)

Импульстері дан -ге дейінгі интервалдағы микробөлшектер күйінің санын санайық. Ол үшін радиустары және екі сфераны импульстер кеңістігі ретінде қарастырайық (3.1-сурет).

Осы сфералар ортасында көлемі тең шар қабаты жатыр. Осы қабаттағы ұяшықтар саны мынаған тең:

(3.11)

Ұяшықтар саны интервалындағы күйлер санына тең, себебі әрбір ұяшық бөлшектердің бір күйіне сәйкес келеді.

Импульстен энергияға ауысайық, яғни энергиялары ден арасында болатын күйлер санын табайық. Өзара әрекеттеспейтін еркін бөлшектер үшін толық энергия-кинетикалық энергияға тең болады. Сондықтан, , осыдан (біз теңдіктің екі жағын да толық дифференциалдадық).

, , ,  (3.12)

(3.13)

Бұл мен аралығындағы энергиясы болатын бөлшектер күйінің саны (спинін ескермейміз).

Күй тығыздығы - -нің берілген мәні айналасындағы энергияның бірлік интервалындағы күй саны:

(3.14)

функциясының графиктік кескінделінуі 3.2- суретте берілген.

Әрбір фазалық ұяшықтағы электрондар спиндерінің бағытына байланысты екі күйде бола алады, сондықтан электрондар үшін:

(3.15)