Тема 10. Повний диференціал функції двох змінних.

Повним приростом функції в точці , який відповідає приростам аргументів , називається різниця

Функція називається диференційовною в точці , якщо скрізь в околі цієї точки повний приріст функції можна подати у вигляді

,

де , – числа, не залежні від .

Диференціалом 1-го порядку функції називається вираз

.

Диференціали незалежних змінних за означенням беруться рівними їх приростам: .

Для диференціала правильна формула

.

Якщо достатньо мале, то для диференційовної функції правильна наближена формула: або

.

Диференціалом 2-го порядку функції називається диференціал від її диференціала 1-го порядку, розглянутого як функція змінних при фіксованих значеннях . Аналогічно визначається диференціал 3-го порядку . Взагалі, .

Диференціал -го порядку функції , де – незалежні змінні, символічно записується у вигляді формули:

, яка формально розкривається за біномним законом.

Зокрема, у випадку функції двох змінних , маємо:

;

.

Приклад 8. Знайти диференціали 1-го та 2-го порядків функції .

◄ Маємо

а тому

. ►

Тема 11. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області.

Нехай функція визначена і неперервна в обмеженій замкнутій області . Тоді вона досягає в деяких точках свого найбільшого і найменшого значень (т.3. глобальний екстремум). Ці значення досягаються функцією в точках, розташованих усередині області, або в точках, що лежать на межі області.

Правило знаходження найбільшого і найменшого значень диференційованої в області функції полягає в наступному:

1 . Знайти всі критичні точки функції, що належать і обчислити значення функції в них;

2. Знайти найбільше і найменше значення функції на кінцях області;

3. Порівняти всі знайдені значення функції і вибрати з них найбільше і найменше .

Приклад . Знайти щонайбільше і якнайменше значення функції в замкнутій області, обмеженій лініями:

, , , (див. рис.)

 ◄ Тут

1. Знаходимо всі критичні точки:

Розв’язком системи є точки

Жодна із знайдених точок не належить області .

2. Досліджуємо функцію на межі області, що складається з ділянок (рис.).

На ділянці : , , де

, , . Значення функції , .

На ділянці :

, , де ,

, . Значення функції , .

На ділянці : ,

; ; . Значення функції

На ділянці : ,

Значення функції

3. Порівнюючи отримані результати, маємо: а

►

Тема 12. Розв’язування вправ на дослідження функції двох змінних на екстремум.

Поняття максимуму, мінімуму, екстремуму функції двох змінних аналогічні відповідним поняттям функції однієї незалежної змінної.

Приклад . Знайти екстремум функції .

◄ Тут Точки, в яких частинні похідні не існують, відсутні.

Знайдемо стаціонарні точки, розв’язуючи систему рівнянь:

Звідси одержуємо точки і

Знаходимо частинні похідні другого порядку даної функції:

В точці маємо: , звідси тобто

Оскільки , то в точці функція має локальний максимум

В точці : і, значить . Проведемо додаткове дослідження. Значення функції в точці рівне нулю: . Можна помітити, що при , при , . Значить, в околі точки функція приймає як негативні, так і позитивні значення. Отже в точці функція екстремуму не має. ►

ПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ

САМОСТІЙНОГО

ОПРАЦЮВАННЯ МАТЕРІАЛУ

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій.

Завдання для самоконтролю:

1.1. Знайти границю функції: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Питання для самоконтролю:

1. Поняття границі функції в точці.

2. Основні теореми про границі.

3. Перша важлива границя.

4. Друга важлива границя.

Тема 2. Правило Лопіталя.

Завдання для самоконтролю:

2.1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя: а) ;

б) ; в) ; г) .

Питання для самоконтролю:

1. Правило Лопіталя та його наслідок .

2. Розкриття невизначеностей вигляду:

Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій.

Завдання для самоконтролю:

4.1 Знайти похідні від неявних функцій: а) ; б) ; в) .

4.2 Знайти похідні від параметрично заданих функцій: а) ;

б) .

Питання для самоконтролю:

1. Означення неявної функції.

2. Означення параметрично задано функції.

3. Похідна неявної функції.

4. Похідна параметрично задано функції.

Тема 5. Геометричний та фізичний зміст похідної.

Завдання для самоконтролю:

5.1. Знайти дотичну проведену до кривої в точці , абсциса якої дорівнює .

5.2. Точка рухається прямолінійно за законом . Обчислити швидкість і прискорення точки через 2 секунди після початку руху.

Питання для самоконтролю:

1. Геометричний зміст похідної.

2. Механічний зміст похідної.

Тема 6. Асимптоти.

Завдання для самоконтролю:

6.1. Для функції знайти всі асимптоти.

6.2. Для функції знайти похилі асимптоти .

Питання для самоконтролю:

1. Поняття асимптоти графіка функції.

2. Які бувають асимптоти ?

3. Знаходження асимптот графіка.

Тема 7, 8. Розв’язування вправ на повне дослідження поведінки функції.

Завдання для самоконтролю:

8.1. Для функції визначити зростає чи спадає задана функція в точках .

8.2. Знайти екстремуми функції .

8.3. Дослідити функцію на опуклість, угнутість і перегин.

Питання для самоконтролю:

1. Необхідні і достатні умови зростання і спадання функції.

2. Поняття опуклості і угнутості графіка функції, точки перегину.

3. Необхідні і достатні умови опуклості і угнутості графіка функції.