Для гіперболи асимптотами є осі абсцис і ординат. Крива може наближатися до своєї асимптоти, залишаючись з одного боку від неї

Загасаючі коливання. . Крива може нескінченну кількість разів перетинати асимптоту

Види асимптот графіків

Вертикальна

Вертикальна асимптота – пряма виду за умови існування межі .

Як правило, при визначенні вертикальної асимптоти шукають чимало межа, а два односторонніх (лівий і правий). Це робиться з метою визначити, як функція веде себе по мірі наближення до вертикальної асимптоти із різних сторін. Наприклад:

1. 

2. 

Горизонтальна

Горизонтальна асимптота – пряма виду за умови існування межі .

Похила

Похила асимптота – пряма виду за умови існування меж.

Приклад похилої асимптоти

Зауваження: функція може мати не більше двох похилих (горизонтальних) асимптот!

Зауваження: Якщо хоча б один з двох згаданих вище меж не існує (або рівний ),

то похилої асимптоти при ( або ) Не існує!

Тема 7, 8. Розв’язування вправ на повне дослідження поведінки функції.

Приклад 1. Знайти інтервали зростання та спадання функції .

Ця функція диференційована на всій числовій осі.

Похідна у точках _і , які розбивають числову вісь на проміжки У кожному з цих інтервалів зберігає знак сталим, тому достатньо визначити знак в довільній точці інтервалу.

,

Приклади 2. Дослідити на екстремум:

1)

– критичні точки

с)

y 0 1 3 x

d)

₂₎

не існує при х=0, тобто х=0 – критична точка.

– + 0 y x

y 1 x

Приклад 3. Знайти екстремум функції

; – критичні точки

;

максимум

– мінімум.

Приклад 4. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку .

Знаходимо ;

; .

Точка

Знайдемо

Приклад 5. Знайти інтервали опуклості і вгнутості та точки перегину кривої

, – критична точка другого роду.

Якщо , то – крива випукла.

Якщо _{, то} – вгнута .

y (0)=2. Точка (0;2) – точка перегину.

Тема 9. Частинні похідні функцій двох змінних.

Нехай – довільна фіксована точка з області визначення функції . Надаючи значенню змінної приросту , розглянемо границю

Ця границя називається частинною похідною І-го порядку функції по змінній в точці і позначається або .

Обчислюються частинні похідні за звичайними правилами і формулами диференціювання, але при цьому всі змінні, крім , розглядаються як сталі.

Приклад 5. Знайти частинні похідні функції .

◄ Вважаючи у сталим, дістанемо . Вважаючи х сталим, одержимо .►

Частинними похідними 2-го порядку функції називаються частинні похідні від її частинних похідних першого порядку. Похідні другого порядку позначаються так:

;

.

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні порядку вищого, ніж другий.

Результат багатократного диференціювання функції по різних змінних не залежать від черговості диференціювання за умови, що одержані при цьому змішані частинні похідні неперервні.

Приклад 6. Знайти частинні другі похідні функції .

◄ Маємо (приклад 5) ; . Диференціюючи повторно, дістанемо:

;

;

;

. ►