Тема 5. Геометричний та фізичний зміст похідної Геометричний зміст похідної

Дамо загальне означення дотичної. Розглянемо криву L і на ній точки M та M₁ .

Пряму , що проходить через ці точки називають січною. Нехай точка , рухаючись вздовж кривої, наближається до точки М. Тоді січна повертатиметься навколо точки М, а довжина відрізка прямуватиме до нуля.

Якщо при цьому і величина кута прямує до нуля, то пряму МТ називають граничним положенням січної , тобто дотичної до кривої в точці М.

З означення випливає, що існування дотичної не залежить, з якого боку точка наближається до точки М.

Якщо січна наближається до різних прямих, або взагалі не наближається ні до якої прямої, то М – точка ізлому і вважається, що в точці М дотичної немає.

_М

Нехай крива задана рівнянням y=f(x) і має в точці М(х,у) не вертикальну дотичну. Розглянемо задачу про знаходження кутового коефіцієнта цієї дотичної.

Y

y+Δy

Δy

y M A

y=f(x)

α

T 0 x

x Δx x+Δx

Надамо аргументу х приросту Δх: тоді значенню (х+Δх) відповідатимуть значення функції y+Δy = f(x+Δx) і точка (х+Δх; y+Δx) на кривій.

Проведемо січну і позначимо через φ кут, утворений цією січною з додатним напрямом осі Ох. Кутовий коефіцієнт січної дорівнює

Якщо , то точка прямує до точки М вздовж кривої, а січна , повертаючись навколо точки М, переходить у дотичну МТ. Кут φ при цьому прямує до деякого граничного значення α.

Похідна , знайдена від функції y=f(x) та обчислена у точці , тобто є кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції y=f(x) у точці з абсцисою . Це геометричний зміст похідної.

Рівняння дотичної, яка проходить через точки буде:

Фізичний зміст похідної

Нехай s = s (t) – закон прямолінійного руху. Тоді висловлює миттєву швидкість руху в момент часу t_0. Друга похідна висловлює миттєве прискорення в момент часу t _0.

Взагалі похідна функції y = f (x) в точці x ₀ висловлює швидкість зміни функції в точці x₀ . Тобто швидкість протікання процесу, описаного залежністю y = f (x).

Тема 6. Асимптоти. Асимптоти в графіках функції

Асимптота (від греч. ασϋμπτωτος– Неспівпадаючі, не стосується) кривої с нескінченної гілкою – пряма, що володіє тим властивістю, що відстань від точки кривої цієї до прямий прагне до нуля при видаленні точки вздовж гілки в нескінченність. Термін вперше з'явився у Аполлонія Пергського, хоча асимптоти гіперболи досліджував ще Архімед