Тема 2. Правило Лопіталя.

Теорема 1. Нехай функції визначені і диференційовні в околі точки х₀, за винятком, можливо, самої точки х₀, причому

Вважатимемо, що х₀ – скінчене число: . Довизначемо функції в точці х=х₀, поклавши Тоді ці функції будуть неперервні в точці х₀. розглянемо відрізок [x₀;x], що належить даному околу. Функції і неперервні на [x₀;x], диференційовні на (х₀, х) і .

Тому за теоремою Коші знайдеться точка , для якої

або

тому, що . Оскільки за умовою існує , якщо , то з рівності маємо:

Зауваження 1. Теорема справедлива і в тому випадку, коли . Дійсно, поклавши , маємо

Зауваження 2. Якщо похідні задовольняють ті самі умови, що і функції і то теорему і можна застосувати ще раз. При цьому дістанемо

Взагалі, теорему 1 можна застосувати доти, поки не прийдемо до відношення похідних , яке має певну границю при . Цю саму границю матиме й відношення функцій:

Теорема 1 дає змогу розкривати невизначеність виду Сформулюємо теорему, яка стосується розкриття невизначеності виду .

Теорема 2. Нехай функції і визначені і диференційовні в околі точки х₀ і в цьому околі

Тоді якщо існує границя то існує границя і

Цю теорему приймемо без доведення.

Виражене теоремами 1 і 2 правило обчислення границь називають правилом Лопіталя за іменем математика, який опублікував його. Але це правило відкрив І. Бернуллі, тому правило Лопіталя називають ще правилом Бернуллі – Лопіталя.

Зауважимо, що правило Лопіталя застосовується лише для розкриття невизначеності виду і , які називають основними. Відомі ще й такі невизначеності, як покажемо, як ці невизначеності зводяться до основних.

а). Якщо то невизначеність виду 0· можна звести до основних так:

або

б). Якщо то невизначеність виду зводиться до невизначеності :

в). Якщо , то

і невизначеність виду 0⁰ зводиться до невизначеності 0· , розглянутої вище. Аналогічно розкриваються невизначеності і .

Таким чином, щоб розкрити невизначеності , їх треба спочатку звести до основних і лише після цього застосувати правило Лапіталя.

Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій Похідна неявної функції.

Нехай рівняння F (x; y) = 0 визначає у як неявну функцію від х. Надалі будемо вважати, що ця функція — диференційована.

Потрібно продиференціювати за змінною х обидві частини рівняння F (x; y) = 0, дістанемо рівняння першого степеня відносно . З цього рівняння легко знайти , тобто похідну неявної функції.

Приклад 1. Знайти з рівняння .

 Оскільки у є функцією від х, то у² розглядатимемо як складну функцію від х, тобто .

Диференціюємо по х обидві частини заданого рівняння, дістанемо . Звідси .

Приклад 2.

Диференціювання функцій, заданих у параметричній формі.

Нехай функція y від x задана у параметричній формі, тобто

Похідну можна знайти, не знаючи явної залежності y від x.

Достатньо врахувати, що

1. Похідна є частка від ділення двох диференціалів;

2. Форма диференціалів 1-го порядку не залежить від вибору аргументу.

Одержимо ; .

Відношення цих величин дає : =

Для похідної запишемо =

Приклад.