1.2 Повнота систем перемикальних функцій

1.2.1 Базовi поняття про повноту систем перемикальних функцій

Систему перемикальних функцiй D = {f1, f2, …, fm} називають повною (функцiонально повною, базисом) у класi R усiх функцiй алгебри логiки, залежних вiд n аргументiв, якщо будь-яку перемикальну функцiю f*, яка належить R, можна представити у виглядi суперпозиції функцiй системи D.

Бiльш скорочено можна сформулювати наступне визначення: система перемикальних є функціонально повною, якщо будь-яку перемикальну функцiю можна представити у вигляді суперпозиції функцій даної системи.

Наприклад, повними є наступнi системи перемикальних функцiй:

Мiнiмальним є такий базис, для якого видалення хоча би однiєї функції, що утворюють його, перетворить систему перемикальних функцiй на неповну.

Прикладами мiнiмальних базисiв є наступнi функцiонально повнi набори перемикальних функцiй: {АБО, НI}; {I, НI}.

Базис Буля, що мiстить набiр функцiй {I, АБО, НI} та є функцiонально повним, не є мiнiмальним (є надлишковим), оскільки з нього можна виключити функцiю АБО чи функцiю I зi збереженням ним властивостi повноти:

x1 + x2 = НI (НI (x1 + x2)) = НI (НI (x1) & НI (x2)),

x1 & x2 = НI (НI (x1 & x2)) = НI (НI (x1) + НI (x2)).

Монофункцiональним є такий базис, який мiстить рiвно одну функцiю, наприклад: базис Шеффера (функцiя I-НI); базис Пiрса (функцiя АБО-НI).

Перехiд з базису Буля до базисiв Шефера та Пiрса здiйснюють за допомогою подвiйного заперечення перемикальної функцiї, поданої в диз`юнктивнiй номальнiй формi, та застосування правил де Моргана.

Наведемо приклад перетворення аналітичних виразів перемикальних функцій f1 i f2, які було задіяно в попередньому розгляді, для побудови відповідних комбінаційних схем у базисах Пірса та Шефера:

Клас (множина) T перемикальних функцій називається замкненим класом (класом Поста), якщо він разом із усіма своїми функціями містить будь-яку їх суперпозицію (будь-яка суперпозиція функцій iз множини T теж належить множинi T).

Будь-яка система M перемикальних функцій породжує деякий замкнений клас, який складається з усіх перемикальних функцій, які можна одержати за допомогою суперпозицій із функцiй множини M.

Клас перемикальних функцiй називають власним, якщо він не є порожнiм і не співпадає з класом усіх перемикальних функцiй.

Розглянемо далi ряд показових класiв перемикальних функцій.

1.2.2 Перемикальнi функцiї, що зберігають константу 0 (клас Р₀) та константу 1 (клас Р₁), самоподвiйнi (клас S), монотонні (клас М) та лінійні (клас L) перемикальнi функцiї

Перейдемо від окремих прикладів перемикальних функцiй систем перемикальних функцій до їх систематизованого опису, попередньо розглянувши необхідні базовi поняття та вивчивши певні властивості.

Перемикальна функцiя f(х₁,...,x_n) зберігає константу 0, якщо виконується умова f(0, 0, …, 0) = 0.

T0 - клас перемикальних функцій, якi зберігають константу 0.

Перемикальна функцiя f(х₁,...,x_n) зберігає константу 1, якщо виконується умова f(1, 1, …, 1) = 1.

T1 - клас перемикальних функцій, що зберігають константу 1.

Перемикальна функція f*(x1, x2, …, xn) називається подвiйною до перемикальної функції f(x1, x2, …, xn, якщо виконується умова

Перемикальна функція f(x1, x2, …, xn) називається самоподвiйною, якщо вона спiвпадає з подвiйною функцiєю, тобто f = f*.

S – клас самоподвiйних функцій.

Введемо на множині {0,1} наступну відносину порядку: 00, 01, 11.

Набори та називаються порівняними, якщо виконано умову .

Запис означає, що набір передує набору .

Перемикальна функція f(x1, x2, …, xn) називається монотонною, якщо для будь-яких наборів і , таких що , має місце нерівність .

Iншими словами, перемикальна функцiя є монотонною, якщо для будь-яких  = (₁, ..., _n) і  = (₁, ..., _n), де _і, _і{0,1} та , виконується умова _і  _і,…, _n  _n  f() f ().

M - клас монотонних перемикальних функцій.

Лiнiйною перемикальною функцiєю є перемикальна функцiя f(х₁,...,x_n) = = , значення якої дорівнюють нулю або одиницi.

Перемикальна функцiя f(х₁,...,x_n) буде лінійною, якщо її можна представити у вигляді виразу, який є поліномом Жегалкіна ступеню не вище першого, а саме: a_i{0,1} .

Таким чином, для того, щоб визначити, чи є деяка перемикальна функція лінійною, її треба представити у вигляді поліному Жегалкіна.

L - клас усіх лінійних перемикальних функцій

Передповними називають класи перемикальних функцiй Р₀, Р₁, S, M, L, якi зберігають константи 0 і 1, є самодвоїстими, монотонними та лінійними.

Iснують функції, які належать кожному із п’яти класів, наприклад: f(x)=x.

Теорема про функціональну повноту: для того, щоб система пере-микальних функцій була повною, необхідно та достатньо, щоб вона цілком не мiстилася в жодному з п'яти класів T0,T1, S, L, M .

У задачах, де потрібно з'ясувати, чи є повною система перемикальних функцій, складають таблиці Поста, в кожну клітинку яких заносять символ плюс або мінус, залежно від того, чи входить перемикальна функція, що стоїть у вiдповiдному рядку, до класу, що знаходиться у вiдповiдному стовпцi.

Виходячи з теореми про повноту, одержуємо наступне правило: для повноти системи перемикальних функцій, необхідно та достатньо, щоб у кожному стовпці таблицi Поста знаходився хоча б один мінус.

Теорема про подання перемикальних функцiй через диз’юнкцію, кон’юнкцію та заперечення: будь-яка перемикальна функцiя може бути пред-ставлена у вигляді суперпозиції перемикальних функцій із множини {, &, ¯}, де знак “¯” ставиться лише безпосередньо над деякими зi змінних і не ставиться над внутрішніми функціями.

Теорема про функціональну повноту деяких поширених систем перемикальних функцiй: функціонально повними є системи перемикальних функцiй { , &, ¯ }, { , &, ¯ }, { , ¯ }, { &, ¯ }, { , ¯ }, { | }; { }.

Теорема про власність і замкненість класів Р₀, Р₁, S, M і L: класи P₀, P₁, S, M, L є власними та замкненими класами перемикальних функцiй.

Теорема Поста про функціональну повноту:. система перемикальних функцiй F={f₁, f₂, …, f_k,…} є функціонально повною тоді і тільки тоді, коли в ній існує:

1) хоча б одна функція, що не зберігає константу 0;

2) хоча б одна функція, що не зберігає константу 1;

3) хоча б одна не самодвоїста функцiя;

4) хоча б одна не лінійна функцiя;

5) хоча б одна немонотонна функція.

Наслідок 1 теореми Поста про функціональну повноту: у результаті суперпозиції немонотонної перемикальної функції f(x₁,…,x_n) iз константами 0 і 1, може бути отримана функція запереченняx_i одного з її аргументів.

Система перемикальних функцiй називається ослаблено функціонально повною, якщо дана система містить у собі константи 0 і 1.

Наслідок 2 теореми Поста про ослаблену функціональну повноту: для того, щоб система перемикальних функцiй була ослаблено функціонально повною, необхідно та достатньо, щоб вона містила хоча б одну нелінійну та одну немонотонну функцію.

Функціонально повну систему перемикальних функцiй називають нескоротною, якщо будь-яка її частина не є функціонально повною.

Будь-яку функціонально повну систему перемикальних функцiй можна привести до нескоротного виду, видаляючи з неї зайві функції.

Наслідок 3 теореми Поста про ослаблену функціональну повноту: максимально можливе число перемикальних функцiй у нескоротній функціонально повній системі перемикальних функцiй дорівнює чотирьом.

Наслідок 4 теореми Поста про функціональну повноту: на практиці, для знаходження функцiонально повних систем перемикальних функцiй, зручно користуватися таблицями, подібними наведеній нижче.

Критерієм функціональної повноти буде наявність символу «+» у п’ятьох стовпчиках категорiї «Групи елементів» указаної таблиці.

Тип елементу	Функція	Групи елементів
		Немоно-тонні	Нелінійні	Несамо- двоїсті	Не збері-гають 0	Не збері-гають 1
Тривіальний	x	-	-	-	-	-
Нулевий	0	-	-	-	-	+
Одиничний	1	-	-	-	+	-
Інвертор	х	+	-	-	+	+
Кон’юнкція	хy	-	+	+	-	-
Диз’юнкція	хy	-	+	+	-	-
Співпадання з забороною	хy  	+	+	+	-	+
Розділення з забороною (імплікація)	хy   xy	+	+	+	+	-
Співпадiння з подвійною забороною (стрілка Пірса)	хy   xy	+	+	+	+	+
Розділення з подвійною забороною (штрих Шефера)	хy   xy	+	+	+	+	+
Елемент рівнознач-ності	хуху  ху	+	-	+	+	-
Елемент нерівнознач-ності	ху	+	-	+	-	+