1.1.4 Роль законів і тотожностей алгебри логіки в процесі роботи з перемикальними функціями
Також є справедливими наступні тотожності:
Закони та тотожності алгебри логіки використовуються для еквівалентних перетворень і спрощення перемикальних функцій.
Наведемо приклад спрощення перемикальної функції, представленої в попередньому прикладі, та побудови для неї відповідної комбінаційної схеми.
Перевірку правильності перетворень виконують за таблицями істинності вихідного та спрощеного аналітичних записів перемикальної функції, для побудови яких, необхідно обчислити значення функції на кожному з її 2³ = 8 можливих наборів, підставивши їх по черзі в обидва аналітичні вирази перемикальної функції. Надалі слід звірити тотожність таблиць істинності.
У процесі обчислень, слід керуватися таблицями істинності елементарних логічних функцій і тотожностями алгебри логіки.
Комбінаційну схему, відповідну спрощеному аналітичному виразу, наведено на наступному рисунку:
Порівнявши дану схему з еквівалентною схемою на попередньому рисунку, можна зробити висновок, що використання законів і тотожностей алгебри логіки дозволило значно скоротити кількість тих логічних елементів, які використовуються для побудови схеми.
На практиці, для зменшення апаратурних витрат, при синтезі цифрових схем використовують спеціальні методи мінімізації, що в багатьох випадках дозволяють отримати ще кращі результати.
Наприклад, для розглянутої вище функції, використання одного з методів мінімізації дозволяє отримати наступну мінімальну форму:
1.1.5 Форми подання перемикальних функцій
Перемикальні функції можуть бути подані різними аналітичними виразами завдяки можливості проведення над ними еквівалентних перетворень із використанням законів і тотожностей алгебри логіки.
На практиці, найзручнішими для подання перемикальних функцій є диз'юнктивні та кон'юнктивні форми.
Кон'юнкція (диз'юнкція) будь-якої кількості двійкових змінних називається елементарною, якщо співмножниками (доданками) в ній є двійкові змінні або їх заперечення, наприклад:
Диз`юнктивною нормальною формою (ДНФ) називають диз`юнкцію будь-якого числа елементарних кон`юнкцій.
Кон`юнктивною нормальною формою (КНФ) називають кон`юнкцію будь-якого числа елементарних диз`юнкцій.
Наприклад:
Число змінних, що входять до елементарної кон`юнкції (диз`юнкції), визначає її ранг, наприклад:
Досконалою диз'юнктивною нормальною формою (ДДНФ) пере- микальної функції n змінних є така форма, де всі кон'юнкції мають ранг n.
Досконалою кон'юнктивною нормальною формою (ДКНФ) пере-микальної функції n змінних є така форма, де всі диз'юнкції мають ранг n.
Приклад досконалої диз'юнктивної нормальної форми (ДДНФ) перемикальної функції f1 і досконалої кон'юнктивної нормальної форми (ДКНФ) перемикальної функції f2:
ДДНФ і ДКНФ формують на основі таблиці істинності перемикальної функції.
Для формування ДДНФ:
‒ кожному набору двійкових змінних, на якому перемикальна функція набуває одиничного значення, слід поставити у відповідність елементарну кон'юнкцію рангу n;
‒ у кожній кон'юнкції з запереченням беруться ті змінні, що на даному наборі дорівнюють нулю;
‒ усі кон'юнкції з'єднуються диз'юнктивно.
Для формування ДКНФ:
‒ кожному набору двійкових змінних, на якому перемикальна функція набуває нульового значення, слід поставити у відповідність елементарну диз'юнкцію рангу n;
‒ у кожній диз'юнкції з запереченням беруться ті змінні, що на даному наборі дорівнюють одиниці;
‒ усі диз'юнкції з'єднуються кон'юнктивно.
Наведемо приклад побудови ДДНФ і ДКНФ для функцій, заданих наступною таблицею істинності:
x1 |
x2 |
x3 |
f1 |
f2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
ДДНФ:
f1 = /x1/x2x3 + /x1x2x3 + x1/x2x3,
f2 = ./x1/x2/x3 + x1/x2x3 + x1x2/x3 + x1x2x3
ДКНФ:
