5. Объем прямой призмы.

Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:

Докажем эту теорему:

1. Рассмотрим произвольную прямую призму с площадью основания S и высотой h и прямоугольный параллелепипед с площадью основания S и высотой h. Расположим призму и параллелепипед так, чтобы их основания лежали в одной плоскости и оба многогранника находились по одну сторону от этой плоскости. Тогда каждая плоскость, параллельная плоскости основания параллелепипеда и пересекающая его, пересекает и призму. Плоскости сечений призмы и параллелепипеда, параллельных основаниям этих многогранников, равны площадям оснований многогранников, а значит, равны между собой. Согласно принципу Кавальери S₁:S₂ = V₁:V₂. По условию S₁ = S₂  V₁ = V₂.

2 . Для прямой треугольной призмы, в основании которой лежит произвольный треугольник. Проведем высоту основания BD, которая разделит треугольник основания на два прямоугольных треугольника: ABD и CBD. По свойству объемов

2. Для прямой призмы, в основании которой лежит произвольный многоугольник. Разобьем многоугольник основания диагоналями на произвольные треугольники, проведем через диагонали плоскости, перпендикулярные основанию. Призма разобьется на n произвольных треугольных призм, причем по свойству объемов ее объем будет равен сумме объемов полученных треугольных призм:

6. Объем наклонной призмы.

Теорема: Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту:

Аналогичные рассуждения справедливы и для наклонной призмы, в основании которой лежит произвольный многоугольник площадью S и высотой h.

Или:

Теорема: Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения:

Построим сечение призмы плоскостью, перпендикулярное боковому ребру призмы (перпендикулярное сечение). Разобьем многоугольник основания диагоналями на произвольные треугольники, проведем через диагонали плоскости, перпендикулярные основанию. Призма разобьется на n произвольных треугольных призм, причем по свойству объемов ее объем будет равен сумме объемов полученных треугольных призм:

7. Объем пирамиды.

Теорема 1: Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:

Теорема 2: Объем усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площади оснований равны S₁ и S₂, определяется по формуле:

Использованная литература:

1. Атанасян л. С. И др. Геометрия, 10 – 11. Гл. 7, § 1; § 2, п. 65; § 3, пп. 68, 69.