I теоретическая часть
Рассмотрим систему с m параллельно работающими приборами (каналами) обслуживания с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания. Считаем, что входной поток пуассоновский с параметром λ, а обслуживание осуществляется по экспоненциальному закону с параметром . В системе может быть ограниченное число требований, пусть это число будет K. Примем также, что время ожидания начала обслуживания является случайной величиной и подчиняется экспоненциальному закону, например, заданным своей функцией распределения:
(2.1)
где
— интенсивность ухода из очереди, т.е.
величина, обратная среднему времени
ожидания.
Величину
можно интерпретировать, как плотность
"потока уходов" требований,
находящихся в очереди. Такие требования
часто называют "нетерпеливыми"
требованиями. Изменение вероятностей
состояний системы происходит в случае
поступления требований или за счет
обслуживания, когда нет очереди. При
наличии очереди, т.е. когда состояние
системы определяется величиной не менее
m+1, изменение состояния
может происходить также и за счет ухода
"нетерпеливых" требований. В случае,
когда в системе уже есть K
требований, то вновь поступающее
требование получит отказ в обслуживании.
Граф вероятностей состояний системы
M/M/m/K
с огр
аниченным
временем ожидания показан на рисунке
2.1.
По размеченному графу состояний могут быть составлены дифференциальные уравнения Колмогорова относительно вероятности состояний по мнемоническому правилу: производная вероятности любого состояния системы равна сумме потоков вероятностей, переводящих систему в это состояние, минус сумма потоков вероятностей, выводящих систему из этого состояния. Потоком вероятности называется произведение вероятности на интенсивность (интенсивность входного потока или интенсивность обслуживания).
Для применения мнемонического правила вокруг каждого состояния проводят воображаемую окружность и затем подсчитывают количество стрелок, входящих в эту окружность и количество стрелок, выходящих из этой окружности. Если стрелка входит в воображаемую окружность, то соответствующий поток вероятности будет положительным, в противном случае — отрицательным.
По размеченному графу состояний можно составить также алгебраические уравнения относительно стационарных (финальных, конечных, предельных) вероятностей по следующему мнемоническому правилу: потоки вероятностей между любыми двумя соседними состояниями равны. Для применения этого мнемонического правила для графа состояний рисунка 2.1 следует между двумя состояниями провести воображаемую вертикальную черту и приравнять между собой потоки вероятностей, пересекающие эту черту слева и справа.
II практическая часть
Рассмотрим пример моделирования многоканальной системы с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания. Сначала это моделирование проведем в системе MATLAB, а затем в системе GPSS/PC с целью получения операционных характеристик. В системе MATLAB применим аналитическое моделирование на основе решений соответствующих дифференциальных уравнений Колмогорова. В системе GPSS/PC (GPSS World) моделирование будет имитационное. В обоих случаях должны быть получены операционные характеристики системы, которые по своим значениям должны быть достаточно близки между собой.