Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение: Уравнение вида называется линейным. Если , то уравнение называется однородным; если – неоднородным. Общее решение однородного уравнения получается путем разделения переменных; общее решение неоднородного уравнения получается из общего решения соответствующего однородного уравнения с помощью вариации произвольной постоянной интегрирования С. Данное неоднородное уравнение можно интегрировать также с помощью замены , где u, v – две неизвестные функции.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение: Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где а₀, а₁, а₂ – числа, причём . Если f(x) = 0, то уравнение называется однородным, а если – неоднородным.

Квадратное уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения . Пусть – дискриминант квадратного уравнения. Возможны следующие случаи:

1) – общим решением уравнения является функция (k₁ и k₂ – корни характеристического уравнения);

2) – общим решением служит функция (k – корень характеристического уравнения);

3) – общим решением служит функция (k₁ =  + i, k₂ =  – i – корни характеристического уравнения).

Примеры решения задач

Пример 1. Найти общее решение уравнения:

Решение: У нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Записываем характеристическое уравнение и находим корни этого уравнения:

Корни в этом случае являются действительными и различными, значит, общее решение однородного уравнения будет выглядеть так:

Пример 2. Найти общее решение уравнения:

Решение: У нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Записываем характеристическое уравнение и находим корни этого уравнения:

Корни в этом случае действительные и равные, значит решение имеет вид:

Пример 3. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям

Решение: Записываем характеристическое уравнение и находим корни этого уравнения:

Корни в этом случае являются действительными и различными, значит, общее решение однородного уравнения будет выглядеть так:

Алгоритм нахождения частного решения следующий:

Сначала используем начальное условие  : Согласно начальному условию, получаем  первое уравнение:   или просто 

Далее берём наше общее решение   и находим производную: Используем второе начальное условие  : Согласно второму начальному условию, получаем второе уравнение:   или просто 

Составим и решим систему из двух найденных уравнений:

В составленной системе удобно разделить второе уравнение на 2 и почленно сложить уравнения:

Всё, что осталось сделать – подставить найденные значения констант   в общее решение  :

Частное решение:

Тема 1.4 Последовательности и ряды Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов

Пусть дана последовательность 

Определение:  Бесконечным рядом называется сумма бесконечного числа членов последовательности. Обозначается  .

Число   называют общим членом ряда.

Сумму ряда невозможно считать так же, как конечную сумму. Поэтому следует дополнительно ввести определение суммы ряда.

Будем называть частичной суммой ряда выражение вида  . В результате можно составить бесконечную последовательность частичных сумм 

Определение: Говорят, что бесконечный ряд   сходит­ся, если последовательность его частичных сумм стремится к какому-нибудь числу .

Число   называется в этом случае суммой ряда. Если же последовательность частичных сумм стремится к бесконечности или вообще не имеет никакого предела, то говорят, что ряд рас­ходится.

Одной из основных задач теории рядов является решение вопроса о сходимости ряда. Во многих случаях не удается найти сумму ряда в явном виде, более того, сумма ряда может не выражаться через элементарные функции. С другой стороны при решении различных задач не требуется находить сумму ряда, достаточно установить факт его сходимости или расходимости. Ответ на поставленный вопрос дает ряд теорем.