Численные методы интегрирования, приближенное вычисление определенного интеграла

Приближенно вычисляют те определенные интегралы, которые не поддаются обычному методу вычислений. Простейшим приближенным методом является метод прямоугольников.

Чтобы найти приближенное значение интеграла , нужно:

1. Разделить отрезок интегрирования на n равных частей точками

2. Вычислить значение подынтегральной функции в точках деления, то есть найти

3. Воспользоваться одной из следующих приближенных формул:

Эти соотношения называют формулами прямоугольников

Тема 1.3 Обыкновенные дифференциальные уравнения Определение дифференциальных уравнений, их геометрическая интерпретация. Задача Коши

Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные искомой функции или ее дифференциалы.

Например: или

Решить дифференциальное уравнение – значит найти такую функцию, подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. Эта функция называется решением дифференциального уравнения. Решение, содержащее постоянную , называется общим решением дифференциального уравнения. Решение, в которое подставлено числовое значение , называется частным решением дифференциального уравнения. Значение вычисляется при подстановке начальных данных в общее решение. Задача отыскания конкретного частного решения по начальным данным называется задачей Коши. Геометрически частное решение представляется одной интегральной кривой, общее решение – совокупность интегральных кривых.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение: Уравнение вида

,

где - заданные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:

1.) Выражают производную функции через дифференциалы

2.) Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциалы за скобку.

3.) Разделяют переменные

4.) Интегрируют обе части равенства и находят общее решение

5.) Если заданы начальные условия, то находят частное решение.

В зависимости от вида уравнения некоторые пункты алгоритма могут быть опущены.

Примеры решения задач

Пример 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

Решение: Воспользуемся алгоритмом

1.) Заменим

2.) Умножим обе части равенства на и запишем выражения, содержащие в разных частях равенства:

3.) Разделим обе части равенства на выражение :

4.) Проинтегрируем обе части равенства:

– общее решение диф. уравнения

Ответ: .

Пример 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

Решение: Воспользуемся алгоритмом

1.) Заменим

2.) Умножим обе части равенства на :

3.) Разделим обе части равенства на :

4.) Проинтегрируем обе части равенства и найдем общее решение уравнения:

- общее решение

5.) Найдем частное решение, подставив в общее решение начальные условия:

Значит, - частное решение дифференциального уравнения.

Ответ:

Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если у вас не совпал результат с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.