Примеры решения задач

Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1. .

2. Имеем: . Функция не является ни четной, ни нечетной, так как и .

3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

С осью Ox: , получаем уравнение:

Значит точки пересечения с осью Ox.

С осью Oy: , из равенства получаем

Значит (0;0) точка пересечения с осью Oy.

4. Асимптот нет.

5. а)

б)

критические точки функции

6. Область определения функции разделится на три промежутка, определяем знак производной в каждом:

При функция убывает

При функция возрастает

7. Точки экстремума: , тогда

, тогда

8. а)

б)

критическая точка II рода

9. Область определения функции разделится на два промежутка, определяем знак второй производной в каждом:

При функция выпукла вниз

При функция выпукла вверх

При имеем точку перегиба, ее ордината

10. Построим график:

Пример 2. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1. .

2. Имеем: . Функция является четной, так как . Значит график будет симметричен относительно .

3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

С осью Ox: , получаем уравнение: . Уравнение является биквадратным, пусть , тогда . Получившееся уравнение не имеет действительных корней. Значит, точек пересечения графика с осью Ox нет.

С осью Oy: , из равенства получаем . Значит (0;3) точка пересечения с осью Oy.

4. Асимптот нет.

5. а)

б)

4

критические точки функции

6. Область определения функции разделится на четыре промежутка, определяем знак производной в каждом:

При функция убывает

При функция возрастает

6. Точки экстремума: , тогда

, тогда

6. а)

б)

критические точки II рода

6. Область определения функции разделится на три промежутка, определяем знак второй производной в каждом:

­

­-

При функция выпукла вниз

При функция выпукла вверх

При имеем точки перегиба, их ординаты

6. Построим график:

Тема 1.2

Интегральное исчисление функции одной переменной

Неопределенный интеграл

Определение: Функция , определенная на интервале называется первообразной для функции , определенной на том же интервале , если .

Определение: Совокупность всех первообразных функции на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом , где подынтегральная функция, подынтегральное выражение, переменная интегрирования.

Таким образом, , где любое действительное число.

Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:

.

Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.