Правила дифференцирования:

1.)

2.)

3.)

4.)

Формулы дифференцирования (таблица производных):

Основные элементарные функции	Сложные функции

Примеры решения задач

Найдите производные функции:

Пример 1.

Решение: Предварительно опираясь на свойства степени, получим:

Применяя правила дифференцирования 1 и 3 и формулы дифференцирования 1,2,5 получим:

Пример 2.

Решение: Применяя правило дифференцирования 4 и формулы дифференцирования 1,2,5 имеем:

Пример 3.

Решение: Это сложная функция с промежуточным аргументом . Воспользуемся формулами 5a и 9:

Пример 4.

Решение: Это сложная функция с промежуточным аргументом . Воспользуемся формулой 13а и правилом 4:

Пример 5.

Решение: Используя правила 1и 3 и формулы 5а, 7а, 11а, 2,10 получим:

Пример 6.

Решение: Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:

Теперь дифференцируем, используя формулы 3а, 1, 5 и правила 3, 4:

Физический смысл производной

Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t₀) = s'(t₀) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t₀. Вторая производная a(t₀) = s''(t₀) выражает мгновенное ускорение в момент времени t₀. Вообще производная функции y = f(x) в точке x₀ выражает скорость изменения функции в точке x₀, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью В биологии производная характеризует скорость размножения колонии микроорганизмов, в химии – скорость химической реакции, в экономике – производительность труда, предельные издержки.

Примеры решения задач

Пример 1. Найти скорость и ускорение в момент времени для точки, движущейся прямолинейно если движение точки задано уравнением:

Решение:

Найдем скорость движения точки в любой момент :

Вычислим скорость движения точки в момент :

Найдем ускорение движения точки в любой момент времени : .

Вычислим ускорение в момент

Геометрический смысл производной

Геометрическая интерпретация производной состоит в следующем: значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в той же точке , то есть:

, где угол между положительным направлением оси и касательной к графику функции в точке .

Уравнение касательной имеет вид:

Примеры решения задач

Пример 1. Составьте уравнение касательной к графику функции

в точке с абсциссой .

Решение:

Найдем ординату точки касания:

Найдем значение производной в точке :

; .

Имеем искомое уравнение: , то есть

Исследование функций и построение графиков

Общая схема исследования функции:

1. Найти область D(y), то есть те значения x, при которых функция определена.

2. Определить является ли функция чётной или нечётной.

Если f(-x)=f(x), то функция чётная (график будет симметричен относительно Оy)

Если f(-x)= - f(x), то функция нечётная (график будет симметричен относительно О)

3. Определить (если не затруднительно) точки пересечения с осями координат

С осью Оx: y=0, находим значение x С осью Оy: x=0, находим значение y

4. Найти асимптоты, если они имеются.

Наклонная асимптота – прямая вида , где ,

.

Вертикальная асимптота – прямая вида , если .

Горизонтальная асимптота – прямая вида , если .

5. Найти критические точки функции:

а) находим производную функции

б) приравниваем производную к нулю

6. Определить промежутки монотонности функции:

Разбиваем область определения на интервалы и определяем знак производной в каждом из интервалов:

Если , то f(x) ­, если , то f(x) ¯

7. Определить экстремумы функции, то есть определяем точки min и max, вычисляем значение функции в этих точках.

8. Найти критические точки 2 рода:

а) находим вторую производную функции

б) приравниваем вторую производную к нулю

9. Определить промежутки вогнутости, выпуклости, точки перегиба:

а) разбиваем область определения на интервалы и определяем знак второй производной в каждом из интервалов.

Если, то f(x)È , если, то f(x)Ç

б) определяем точки перегиба и вычисляем значение функции в них

10. Построить график

Используя результаты исследования, соединяем полученные точки плавной кривой. Иногда для большей точности графика находят несколько дополнительных точек.