Виды неопределенностей и способы их раскрытия. Первый и второй замечательные пределы

Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям вида . Для раскрытия неопределенностей можно воспользоваться следующими приемами:

1. Если получаем , где – многочлены, то в этом случае надо числитель и знаменатель разложить на множители и сократить на , а затем опять подставить предельное значение.

2. Если получаем неопределенность и есть иррациональность, то числитель и знаменатель надо домножить на сопряженную величину.

3. Если при получаем неопределенность , то надо числитель и знаменатель почленно разделить на неизвестное слагаемое в наивысшей степени.

4. Если получаем неопределенность , а представлена в виде разности двух дробей, то необходимо привести дробь к общему знаменателю и получить неопределенность .

5. Если получаем неопределенность и есть иррациональность, то числитель и знаменатель домножаем на сопряженное выражение.

6. Первый замечательный предел раскрывает неопределенность вида и имеет вид:

Следствия:

7. Второй замечательный предел раскрывает неопределенность вида и имеет вид:

Следствия:

Примеры решения задач

Пример 1. Вычислить значение предела:

1. 

2. , так как , то при есть величина бесконечно малая, а обратная ей величина бесконечно большая.

3. . При подстановке предельного значения получаем неопределенность , значит необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и после сокращения вычислить предел. При разложении воспользуемся формулой из школьного курса: если и - корни квадратного трехчлена, то .

Имеем:

4. . Получаем неопределенность , умножим числитель и знаменатель на величину, сопряженную числителю, то есть на и затем, сократив дробь, получим:

5. . Получаем неопределенность , разделим почленно числитель и знаменатель на , затем воспользуемся теоремами о пределах и определением бесконечно малых величин:

6. . Имеем неопределенность вида , приведем дроби к общему знаменателю, сократим полученную дробь и вновь подставим предельное значение:

7. . Получаем неопределенность , умножим и разделим на величину, сопряженную данному выражению:

8. . Получаем неопределенность вида . С помощью преобразований сведем данный предел к первому виду первого замечательного предела:

, так как и (следствие (2) из первого замечательного предела).

9. . Получаем неопределенность вида . С помощью преобразований сведем данный предел к виду второго замечательного предела:

, так как (следствие (2) из второго замечательного предела).

Определение производной функции

Определение: Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

.

Функция, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Производная обозначается одним из символов: , а ее значение при обозначается . Операция нахождения производной называется дифференцированием.