Примеры решения задач

Пример 1. Вычислить определитель .

Решение: По определению определителя второго порядка имеем:

.

Ответ: -17

Пример 2. Вычислить определитель , пользуясь правилом треугольников.

Решение:

Ответ: -1

Формулы Крамера

Рассмотрим систему трехлинейных уравнений с тремя неизвестными:

Из коэффициентов при неизвестных составим определитель системы:

Заменим поочередно столбцы коэффициентов при на столбец свободных членов и получим еще три определителя:

, ,

Правило Крамера: Если определитель системы отличен от нуля, то рассматриваемая система всегда имеет решение и притом единственное, которое находится следующим образом:

Замечание: Правило Крамера применимо к любой системе n уравнений с n неизвестными.

Если , то возможны два варианта:

1. . Система имеет бесконечное множество решений.

2. . Система не имеет решений.

Примеры решения задач

Пример 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

Решение: Вычислим определитель системы и определители при неизвестных (воспользуемся при вычислении определителей правилом треугольников):

По формулам Крамера получим:

Тема 4.1

Теория комплексных чисел

Мнимые и комплексные числа

Определение: Комплексными числами называют числа вида , где и - действительные числа, а число , определяемое равенством , называется мнимой единицей.

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа. Действительное число называют действительной частью комплексного числа, число - мнимой частью. Если , то комплексное число называют чисто мнимым.

Определение: Два комплексных числа называются равными, тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части.

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводится.

Определение: Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками при мнимой части. Комплексное число, сопряженное с числом обозначается .

Геометрическое представление комплексных чисел

Комплексное число можно изобразить точкой плоскости с координатами .

Д ействительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной (или вещественной) осью, чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую называют мнимой осью.

Каждой точке плоскости с координатами соответствует один и только один вектор с началом и концом . Поэтому комплексное число можно изобразить в виде вектора с началом в точке и концом .

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами. Чтобы выполнить деление двух комплексных чисел, надо произвести дополнительное действие: умножить делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю.

Примеры решения задач

Пример 1. Даны комплексные числа и . Вычислить:

а) б) в) г)

Решение: а) ;

б)

в) (помним, что )

г) Составим сначала частное: . Число является сопряженным нашему знаменателю. Согласно правилу деления комплексных чисел, помножим на это число числитель и знаменатель дроби, при этом в знаменателе получим формулу разности квадратов, а числитель преобразуем по аналогии с предыдущим примером:

Ответ: а) б) в) г)