Раздел 3. Элементы линейной алгебры
Тема 3.1 Элементы линейной алгебры Матрицы линейные операции над ними
Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа.
Рассмотрим
матрицу:
Когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а потом – количество столбцов. В рассмотренном примере матрица «два на три».
Если
количество строк и столбцов совпадает,
то такую матрицу называют квадратной,
например
Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число каждого элемента матрицы
Пример
1. Умножить матрицу
на число 3
Решение:
Транспонирование матрицы: для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы.
Сложение и вычитание матриц: чтобы сложить (вычесть) матрицы, необходимо сложить (вычесть) их соответствующие элементы.
Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были одинаковыми по размеру.
Пример 3:
Сложить
матрицы 
и 
Решение:
Пример 4:
Найти
разность матриц 
, 
Решение:
Умножение матриц.
Чтобы матрицу M можно было умножить на матрицу L нужно, чтобы число столбцов матрицы M равнялось числу строк матрицы L.
Пример:
Умножить
матрицу 
на
матрицу 
Формула: 
В результате получена так называемая нулевая матрица.
Определители матриц и их свойства Определители второго порядка
Пусть
дана квадратная матрица второго порядка:
.
Определителем
(или детерминантом) данной матрицы
называется число:
.
Определители третьего порядка
Пусть
дана квадратная матрица третьего порядка
.
Определителем
(или детерминантом) данной матрицы
называется число:
При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников. Проиллюстрируем правило на схеме:
На схеме показано, что со знаком «плюс» берутся произведения элементов главной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, основания которых ей параллельны, с о знаком «минус» берутся произведения элементов побочной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали.
Основные свойства определителей
Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами:
При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный:
Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя:
Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.
Если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины:
Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (ниже) главной диагонали, - нули, равен произведению элементов главной диагонали:
Определитель любого порядка можно вычислить способом приведения к треугольному виду. Чтобы получить треугольный определитель, нужно использовать свойство 6 до тех пор, пока не придем к определителю треугольного вида.