Сложение вероятностей

Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них. Обозначается .

Теорема сложения вероятностей несовместных событий: Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие 1: Если события образуют полную систему, то сумма вероятностей этих событий равна единице.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Теорема сложения вероятностей совместных событий: Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Умножение вероятностей

Вероятность наступления события А, вычисленная при условии наступления другого события В, называется условной вероятностью события А по отношению к событию В. Обозначается .

Событие А называется независимым от события В, если наступление события В не оказывает никакого влияния на вероятность наступления события А.

Произведением конечного числа событий называется событие, состоящее в том, что каждое из них произойдет. Обозначается .

Теорема умножения вероятностей независимых событий: Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Теорема умножения вероятностей зависимых событий: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

Формула полной вероятности

Пусть события (гипотезы) образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них событие может наступить с некоторой условной вероятностью . Тогда вероятность наступления события равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события :

Формула Бернулли

Пусть проводится серия одинаковых независимых испытаний, в результате каждого из которых некое интересующее нас событие может появиться с определенной вероятность (одной и той же во всех испытаниях). Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие наступит ровно раз (безразлично, в какой последовательности), находится по формуле Бернулли:

Примеры решения задач

Пример 1. Из слова "математика" выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это будет буква "а"?

Решение: Событие - наугад выбирается буква «а»

- количество всех исходов

- количество благоприятствующих исходов (выбирается буква «а»)

Ответ: 0,3.

Во многих задачах на определение вероятности большее затруднение вызывает подсчёт числа вариантов возможных благоприятных исходов. Здесь на помощь приходят знания комбинаторики.

Пример 2. В ящике лежат одинаковые на ощупь 20 шаров. Из них 12 белых и 8 чёрных. Наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что они оба белые?

Решение: Событие - вынули два белых шара.

Число всех возможных событий равно числу сочетаний из 20 по 2:

.

Число благоприятных исходов равно числу сочетаний из 12 по 2:

Ответ: 0,35.

Пример 3. В урне 4 белых и 6 черных шаров. Случайным образом вынули 1 шар. Какова вероятность того, что он белый?

Решение: Событие - вынули белый шар

- количество всех исходов

- количество благоприятствующих исходов

Ответ: 0,4.

Пример 4. В первой урне находятся 6 черных и 4 белых шара, во второй – 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

Решение: Событие вынутый из первой урны шар белый, событие вынутый из второй урны шар белый. События независимы, поэтому

Ответ: .

Пример 5. Часы одной марки изготавливаются на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 20% всей продукции, второй - 30%, третий - 50%. В продукции первого завода спешат 5% всех часов, второго - 3%, третьего - 2%. Какова вероятность того, что купленные в магазине часы спешат?

Решение: Обозначим событие купленные часы спешат. Возможны гипотезы: часы изготовлены на первом заводе, ; часы изготовлены на втором заводе, ; часы изготовлены на третьем заводе, . Найдем условные вероятности наступления события при осуществлении каждой из гипотез:

вероятность того, что купленные часы спешат, при условии, что они изготовлены на первом заводе;

вероятность того, что купленные часы спешат, при условии, что они изготовлены на втором заводе;

вероятность того, что купленные часы спешат, при условии, что они изготовлены на третьем заводе.

По формуле полной вероятности получаем:

Ответ: 0,029.

Пример 6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет . Найти вероятность четырех попаданий при шести выстрелах.

Решение: По условию задачи . По формуле Бернулли находим:

Ответ: 0,246.