Необходимый признак сходимости рядов
Теорема: Если
ряд
сходится, что предел его n-го
члена стремится к нулю (
).
Следствие. Если предел n-го члена отличен от нуля, то ряд расходится.
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Теорема (признак
сравнения):
Пусть даны два положительных ряда
.
Если, начиная с некоторого N,
выполняется неравенство 
,
то из сходимости ряда 
следует
сходимость ряда
.
Следствие. В условиях данной теоремы из расходимости ряда следует расходимость ряда .
При исследовании ряда на сходимость и расходимость по этому признаку часто используются:
-
геометрический ряд
,
который сходится при
и расходится при
-
гармонический ряд
,
являющийся расходящимся
-
обобщенный гармонический ряд:
,
который сходится при
и расходится при
.
Теорема
(признак Даламбера):
Дан положительный ряд
.
Если существует предел отношения
последующего члена к предыдущему
,
то при 
ряд
сходится, при 
ряд
расходится.
Замечание. В
тех случаях, когда 
признак
Даламбера не дает ответа на вопрос о
том, сходится ряд или нет.
Признак сходимости знакочередующихся рядов
Определение: Ряд называется знакочередующимся, если всякие два соседних члена ряда являются числами разных знаков.
Будем для определенности предполагать, что первый член ряда положителен.
Теорема (признак Лейбница): Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям: 1) последовательность его членов монотонно убывает по абсолютной величине; 2) общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится.
Функциональные ряды. Степенные ряды
Определение:
Функциональным рядом называют сумму
членов функциональной последовательности
.
Зафиксируем некоторое значение , в результате получим обычный числовой ряд, который можно исследовать на сходимость.
Из всех функциональных рядов одними из наиболее распространенных являются так называемые степенные ряды.
Определение: Степенным рядом называется ряд вида:
где
числа
называют коэффициентами ряда, а член
- общим членом ряда.
Определение:
Число
называется
радиусом сходимости ряда
,
если при
ряд
сходится и притом абсолютно, а при
ряд
расходится.
Радиус сходимости можно найти, используя признак Даламбера:
(
не зависит от n),
Отсюда
следует, что если существует предел
,
то радиус сходимости равен этому пределу
и ряд сходится при
,
то есть в промежутке
,
который называется интервалом сходимости.
Если
,
то ряд сходится в единственной точке
.
Сходимость
ряда при
и
исследуется с помощью какого-либо из
признаков сходимости.
Примеры решения задач
Пример 1. Найти промежуток сходимости степенного ряда
Решение:
Используя
формулу
,
получим:
Следовательно,
данный ряд сходится абсолютно при
Исследуем
сходимость ряда в точках
и
.
При
имеем ряд
Это знакочередующийся ряд, который в силу признака Лейбница сходится.
При имеем ряд
или
Это
обобщенный гармонический ряд, который
расходится, так как
Отсюда
следует, что данный ряд сходится при
.
Ответ: .