Если (aRb) и (bRc), то (aRc)

Например, отношение «сосед» является транзитивным, а отношение «отец» не является транзитивным. Действительно, ситуации, когда один человек является отцом другого человека, а этот другой — отцом третьего, и при этом первый также является отцом третьего, быть не может. Если, конечно, не смешивать кровное и юридическое отцовство (см. роман Ж. Сименона «И все-таки орешник зеленеет»).

Зная указанные свойства двуместных отношений, можно делать определенные выводы, строить умозаключения. Так, если Н.В. Гоголь был современником А.С. Пушкина, мы можем элементарно заключить, что в свою очередь А.С. Пушкин был современником Н.В. Гоголя на основе свойства симметричности отношения «быть современником». Так же легко мы заключаем, что А.М. Горький родился позже Л.Н. Толстого на том основании, что А.М. Горький родился позже А.П. Чехова, который родился позже Л.Н. Толстого. Отношение «позже» является транзитивным.

Разработка теории выводов из суждений с отношениями стала особенно активно развиваться в ХХ веке.

Глава 3. Необходимые умозаключения, основанные на отношениях между суждениями

Другой, наряду с категорическим силлогизмом, важнейшей разновидностью необходимых умозаключений, изучаемой в курсе традиционной формальной логики, являются умозаключения на основе отношений между суждениями, при обязательном участии сложных суждений.

Умозаключения на основе отношений между суждениями — это умозаключения, в которых используются сложные суждения, а вывод строится на основе знания свойств логических союзов (пропозициональных связок) и операции отрицания. При этом отвлекаются от структуры простых суждений, рассматривая их в качестве целостных, неделимых элементарных логических объектов, обладающими двумя истинностными значениями — «И» и «Л». В современной формальной логике особенности этих форм умозаключений в обобщенном виде рассматриваются в разделе под названием пропозициональная логика, или логика высказываний.

В настоящем пособии рассматриваются некоторые виды подобных умозаключений, считающиеся основными, наиболее известными. На схеме (см. выше Рис. 20) эти виды умозаключений представлены правой ветвью. Это — 1) условные умозаключения, 2) условно-категорические умозаключения, 3) разделительно-категорические и 4) условно-разделительные, или лемматические умозаключения.

Условные (или чисто условные) умозаключения — это умозаключения, в которых все посылки и заключение являются условными суждениями (импликациями). Простейшей логической формой таких умозаключений может считаться следующая:

А → В

В → С

-----------

А → С

Как видно, в данном примере имеется минимум условных посылок — всего лишь две. Но их может быть гораздо больше, практически любое конечное число. При этом могут встречаться суждения с отрицаниями. Кроме того, антецеденты и консеквенты условных посылок могут быть как простыми, так и сложными суждениями, например:

А → (В v C)

(B v C) → ¬D

¬D → E

-------------------

A → E

Главное условие, которое должно выполняться для условных умозаключений, заключается в том, чтобы антецедент амии (первыми членами) всех условных посылок, начиная со второй, должны быть консеквенты (вторые члены) предшествующих посылок, а в заключении должна быть импликация, антецедентом которой является антецедент первой посылки, а консеквентом — консеквент последней посылки. Кроме того, чтобы это был не просто логически правильный формальный вывод, учитывающий только логическую структуру посылок и заключения, а именно правильное необходимое умозаключение, необходимо, чтобы все посылки были истинными суждениями.

Вывод в условных умозаключениях основывается на свойстве транзитивности импликации (связи «Если… , то…») как особого двуместного отношения, о чем речь шла выше при рассмотрении умозаключений из суждений с двуместными отношениями.

Пример — рассуждение Н.В. Гоголя:

«… не полюбивши России, не полюбить вам своих братьев,

а не полюбивши своих братье, не возгореться вам любовью к Богу,

а не возгоревшись любовью к Богу, не спастись вам».

Фактически, данное рассуждение Н.В. Гоголя представляет собой своеобразное сокращенное умозаключение, в котором пропущено заключение, а именно суждение — «…не полюбивши России — не спастись вам».

Условно-категорическими умозаключениями называются умозаключения, состоящие из трех суждений, двух посылок и заключения, (отчего их также как и ПКС нередко называют силлогизмами), при этом одна из посылок является условным суждением (импликацией), а другая — суждением, которое является антецедентом или консеквентом условной посылки, взятым в утвердительной или отрицательной форме. Заключением такого умозаключения является суждение, которое занимает место второй части условной посылки, также взятое в утвердительной или отрицательной форме.

В традиционной логике длительное время рассматривали только такие условно-категорические умозаключения, в которых части условных посылок и вторые посылки были именно простыми категорическими суждениями. Отсюда произошло название данного вида умозаключений — условно-категорические. В современной логике рассматриваются любые формы подобных умозаключений с любой сложностью их антецедентов и консеквентов.

Простейшими формами условно категорических умозаключений, также как и формы ПКС называемыми модусами, являются следующие (см. Рис. 27):

1)	2)	3)	4)
А → В А ----------- В	А → В ¬А ----------- ¬В	А → В В ----------- А	А → В ¬В ----------- ¬А

Рис. 27

Всего простейших форм (модусов) условно-категорического умозаключения — четыре. При этом две из них — это правильные модусы, т.е. гарантирующие истинность заключения при истинности посылок. В таблице на Рис. 27 схемы этих модусов указаны под номерами 1) и 4). Эти модусы имеют специальные латинские на­звания: 1), или по-русски — «модус утверждаю­щий», 4) modus tollens, по-русски — «модус отрицающий».

В самом деле, в модусах типа 1) (modus ponens) от утверждения антецедента ус­ловной посылки во второй посылке в заключении мы переходим к утверждению консеквентна условной посылки. Например:

Если решение обжаловано в кассационном по­рядке, то оно еще не вступило в законную силу.

Решение суда обжаловано в кассационном порядке

----------------------------------------------------------------------------

Следовательно, оно еще не вступило в закон­ную силу

Здесь имеет место переход от утверждения основания к утвер­ждению следствия.

Отрицающий модус (modus tollens), форма которого указана под номером 4), позволяет перейти от отрицания следствия к отри­цанию основания. Например:

Если решение суда обжаловано в кассационном порядке, то оно еще не вступило в за­конную силу

Решение суда вступило в законную силу

--------------------------------------------------------------------- Значит, оно не может быть обжаловано в кассационном порядке

Конечно, что-то может происходить или не происходить и в силу иных обстоятельств, но если имеет место данная причина, то следствие обязательно должно наступить, и если отсутствует след­ствие вообще, то значит, не действует никакая возможная причина, в том числе та, которая указана в соответствующей посылке. Здесь мы имеем дело с необходимой формальной связью, что проверяет­ся следующим образом. Необходимо объединить с помощью конъ­юнкции обе посылки, а затем объединить их с помощью имплика­ции с заключением.

Проделав это, мы имеем следующие формы:

1. для утверждающего модуса:

А → ¬В

А

-----------

¬В

2. для отрицающего модуса:

А → ¬В

В (=¬¬В)

-------------------

¬А

Построим таблицы истинности для данных форм (Рис. 28):

Таблицы истинности правильных модусов условно-категорических умозаключений
	А	В	¬А	¬B	Modus ponens ((А→В) ^ А) →B			Modus tollens ((А→В) ^ ¬В) → ¬А)
	и	и	л	л	и	и	и	и	л	и
	и	л	л	и	л	л	и	л	л	и
	л	и	и	л	и	л	и	и	л	и
	л	л	и	и	и	л	и	и	и	и

Рис. 28

Как видим, в таблицах для обоих вариантов мы получаем общее зна­чение «И», то есть, имеем дело с тождественно-истинными формами.

А это значит, что мы имеем дело с логически необходимо ис­тинными суждениями. Такие суждения являются примерами действия определенных логических законов, а их формы могут считаться правилами вывода, гарантирующи­ми истинность заключений при истинности посылок.

Убедимся в том, что два других модуса данного вида умозаключений не являются правильными, то есть у них возможно при некоторых условиях значение «Л» в соответствующих таблицах истинности (см. Рис. 29).

Таблицы истинности неправильных модусов условно-категорических умозаключений
	А	В	¬А	¬B	((А→В) ^ ¬А)→ ¬B			((А→В) ^ В) → ¬А)
	и	и	л	л	и	л	и	и	и	л
	и	л	л	и	л	л	и	л	л	и
	л	и	и	л	и	и	л	и	и	и
	л	л	и	и	и	и	и	и	л	и

Рис. 29

Как видим, в третьей и первой строках для обеих форм, соответственно, мы имеем значение «Л», что говорит о том, что данные формы не являются тождественно-истинными, а значит не выражают логических законов, не могут гарантировать истинности заключения при истинных посылках.

Как правильные, так и неправильные модусы условно-категоричес­ких умозаключений широко применяются в практике наших рассужде­ний. Отрицающий и утверждающий правильные модусы (modus pones, modus tollens) относятся к числу наиболее распространенных правил вывода. Что касается неправильных модусов, то они применяются для формулировки версий, гипотез о событиях, в отношении которых могут отсутствовать данные, на основе которых можно было бы построить рассуждения с использованием только правильных форм умозаключе­ний. Следующий пример относится именно к такой гипотетической ситуации:

Если произошло некоторое событие, то остаются чьи-то следы

Обнаружены следы С.

--------------------------------------------------------------------------------

С. причина события

Данное рассуждение нельзя считать необходимым, а заключение ис­тинным, даже если обе посылки истинны: наличие следов еще не говорит о том, что именно С. совершил нечто, составляющее данное событие.

Разделительно-категорическое умозаключение — это умо­заключение, в котором одна посылка обязательно строго раздели­тельное суждение, а другая (другие) — категорические суждения, являющиеся частями разделительной посылки, взятые в утверди­тельной или отрицательной форме. Название этого вида умозак­лючений также берет свое начало в прошлой практике традицион­ной формальной логики, когда рассматривались только простей­шие варианты этого умозаключения. К их числу относятся следу­ющие два модуса разделительно-категорического умозаключения (Рис. 30):

1)	2)
А v В А ---------- ¬В	< А v В > ¬А -------------- В

Рис. 30

Модус 1) называется утверждающе-отрицающим, или по-латински modus ponendo-tollens, модус 2) называется отрицающе-утверждающим, или — modus tollendo-ponens.

Возможны иные, более сложные варианты подобных умозак­лючений, включающие больше членов строго разделительной по­сылки и, соответственно, большее количество посылок, связанных с этими частями разделительной посылки, например (Рис. 31):

< А v В v C v D >

¬А

¬D

-----------------------------

< В v С >

Рис. 31

В отношении данного вида умозаключений следует соблюдать такие требования:

1) в разделительной посылке должна использоваться исключающая, строго разделительная дизъюнкция, не допускающая одновременной истинности частей разделительной посылки;

2) (требование только для отрицающе-утверждающего модуса) разделительная посылка должна быть закрытым суждением, то есть в ней должны указываться все без исключения возможные варианты исхода ситуации, в противном случае не будет гарантии, что истинным нужно считать именно отсутствующий член.

Условно-разделительные, или лемматические умозаключения — это умозаключения, в которых одна посылка состоит из двух или более условных суждений, а другая — разделительное суждение (строгое или нестрогое), образованное из оснований или консеквентов условных суждений, взятых в утвердительной или отрицательной форме.

Строго разделительные суждения называются лемматическими, или леммами, например:

Если вы будете говорить правду, люди проклянут вас,

а если будете лгать, вас проклянут боги.

Но вы можете только говорить правду или лгать.

--------------------------------------------------------------------

Значит, вас проклянут люди или боги.

Леммы, состоящие из двух членов, называются дилеммами, из трех членов — трилеммами, и т. д. — полилеммами.

Рассмотрим общие формы некоторых модусов лемматических умозаключений только на примере дилемм. Простейшими модусами дилемм явля­ются умозаключения со следующими формами (Рис. 32):

1)	2)	3)	4)
А → В С → В А v C ---------- В	А → В С → D А v C ----------- В v D	А → В А → C ¬B v ¬C ------------- ¬A	А → В С → D ¬B v ¬D -------------- ¬A v ¬C

Рис. 32

Мы получили четыре варианта дилеммы, которые отличаются между собой наличием или отсутствием отрицаний суждений, а также простыми или сложными суждениями, которые получаются в заключении. Различают дилеммы простые и сложные, созида­тельные (конструктивные) и разрушительные (деструктивные).

Простая конструктивная дилемма — это дилемма, состоящая из двух условных посылок (с разными антецедентами, но одинаковы­ми консеквентами) и одной разделительной посылки, в которой объединены основания (антецеденты) условных посылок. В заключении таких дилемм утверждается консеквент условных посылок. Например:

Если я получу премию, то куплю юбилейное издание Пушкина.

Если я получу гонорар, то куплю юбилейное издание Пушкина.

Я получил премию или гонорар.

------------------------------------------------------------------------------

Я куплю юбилейное издание Пушкина.

Данное рассуждение построено по схеме 1) на Рис. 32.

Простая деструктивная дилемма — это дилемма, условные посылки которой включают одинаковое основание (антецедент), но разные консеквенты, а в разделительной посылке объединены консеквенты, взятые с отрицанием. В заключениях таких дилемм полу­чается отрицание общего антецедента условных посылок. Например:

Если я женюсь на Роберте, то меня ждет скучное существование.

Если я женюсь на Роберте, то для меня на­ступит полный крах.

Я не хочу влачить скучное существование или потерпеть полный крах.

------------------------------------------------------------------------------------------

Я не женюсь на Роберте.

Это пример рассуждения по схеме 3) на Рис 32.

Сложная конструктивная дилемма — это дилемма, условные посылки которой содержат разные основания и разные консеквенты, а в разделительной посылке объединены основания (антецеденты) услов­ных посылок, взятые в утвердительной форме (без дополнительных отри­цаний). Заключением такой дилеммы является сложное разделительное суждение, состоящее из консеквентов условных посылок (Схема 2 на Рис. 32).

Сложная деструктивная дилемма — это дилемма, состоя­щая из двух условных посылок с разными основаниями и разными консеквентами, а разделительная посылка которой состоит из отрицаний консеквентов условных посылок. В заключении такой дилеммы стоит сложное разделительное суждение, образованное из отрицаний антецедентов условных посылок (Схема 4 на Рис. 32).

Дилеммы являются объединением соответству­ющих модусов (утверждающего и отрицающего) условно-катего­рических умозаключений. Они сокращают рассуждение, соединяя в себе сразу по две условных связи суждений.