1. В пкс должно быть три и только три термина: больший, меньший и средний.

Нарушение этого правила ведет к одной из грубейших ошибок — «учетверению» терминов. Чаще всего это происходит тогда, когда средний термин употребляется в ПКС в двух разных значениях, например:

Жизнь — это борьба

Карате — борьба

----------------------------

Жизнь — это карате

В данном примере в большей посылке слово «борьба» употребляется в значении преодоления трудностей вообще, в меньшей посылке это же слово употребляется в значении особого вида спортивного единоборства.

1. Средний термин должен быть распределен как минимум в одной из двух посылок (правило среднего термина).

Это правило требует, чтобы средний термин был либо субъектом общего суждения (А, Е), либо предикатом отрицательного суждения (Е, О), так как только в этих суждения он может полностью входить или полностью исключаться из другого термина суждения.

Пример нарушения второго правила терминов:

Некоторые змеи ядовиты

Ужи — змеи

---------------------------------

Ужи — ядовиты

В данном примере средний термин — «змеи» — взят не в полном объеме, т.е. не распределен ни в одной из посылок (субъект частно-утвердительного и предикат общеутвердительного суждений).

3. Термин, не распределенный в посылках, не может быть распределенным в заключении (правило крайних членов).

Пример нарушения правила 3:

Все минералы — твердые тела

Железо не является минералом

---------------------------------------------

Железо не является твердым телом

В примере допущено ошибочное расширение большего термина — в большей посылке предикат («твердые тела») не распределен, в то же время в заключении этот же термин, будучи предикатом общеотрицательного суждения должен быть формально распределен, как говорится, по определению.

К числу общих правил посылок ПКС относятся следующие четыре:

1. Из двух отрицательных посылок нельзя сделать логически необходимого заключения. Или по-другому — хотя бы одна из посылок ПКС должна быть утвердительным суждением.

Пример:

Ни один ответственный руководитель не будет

подписывать непрочитанный документ.

Петров не является ответственным руководителем.

------------------------------------------------------------------

?...

Здесь строгий логический вывод невозможен, так как обе посылки являются отрицательными суждениями.

2. Из двух частных посылок нельзя сделать логически необходимого заключения. Иначе — хотя бы одна из посылок ПКС должна быть общим суждением.

Пример:

Некоторые студенты родились в Москве.

Некоторые негры — студенты

-----------------------------------------------------

?...

3. Если одна из посылок — отрицательное суждение, то заключение пкс должно быть также отрицательным.

Пример:

Ни один вид папоротников никогда не цветет

Это растение цветет

----------------------------------------------------------

Это растение не папоротник

4. Если одна из посылок частное суждение, то и заключение должно быть частным суждением.

Пример:

Все депутаты — избранники народа

Некоторые юристы — депутаты

------------------------------------------------------

Некоторые юристы — избранники народа

Приведенные выше правила посылок могут быть дополнены некоторыми близкими положениями. Например, понятно, что из двух утвердительных посылок должно вытекать утвердительное заключение.

Не менее очевидным является положение о том, что если одна из посылок — единичное суждение, то и заключение должно быть единичным суждением.

Кроме того, для рассмотренных выше общевыделяющих и частновыделяющих (Ав и Iв) некоторые правила посылок должны быть конкретизированы далее.

Помимо общих правил ПКС, распространяющихся на все модусы всех четырех фигур, существуют правила, которые действуют только в отношении правильных модусов определенных фигур. Приведем правила фигур на примере модусов первой фигуры: BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO. Эти правила, а их два, каждый может легко вывести сам, достаточно записать названия модусов друг под другом так, чтобы в них по вертикали совпали гласные буквы (Рис. 26):

Б.п. М.п. З.

B A R B A R A

C E L A R E N T

D A R I I

F E R I O

Рис. 26

1) Если сравнить гласные, обозначающие большие посылки в названиях модусов первой фигуры ПКС, то выясняется, что они всегда являются общими суждениями (А и Е). Это и есть первое правило для правильных модусов первой фигуры ПКС.

2) Далее, если сравнить гласные, обозначающие меньшие посылки, то выясняется, что они всегда являются утвердительными суждениями (А и I), что составляет требование второго правила для правильных модусов первой фигуры.

Общие правила и правила отдельных фигур ПКС распространяют свое действие на такие особые случаи ПКС, как их сокращенные формы — энтимемы, так и на более сложные формы — т.н. полисиллогизмы, взятые как в их полном, так и в сокращенном виде (сорит, эпихейрема), о которых речь пойдет далее.

Простым сокращенным силлогизмом, или энтимемой (от греч. — «в уме») называется простой категорический силлогизм, в котором пропущено одно из трех суждений: большая или меньшая посылка, или заключение.

Энтимемы придают повседневной речи, в том числе научной, лаконичность и выразительность. В то же время использование энтимем таит в себе определенные опасности. Они заключаются в том, что кто-то по незнанию, а кто-то, возможно и умышленно может допустить нарушение правил ПКС, например, опустить ложную посылку с намерением замаскировать ее.

Для проверки правильности рассуждения с применением энтимем необходимо уметь восстанавливать энтимему до полного силлогизма. При этом прежде всего нужно обратиться к заключению, особенно, если видно, что пропущена одна из посылок. Заключение ПКС обычно располагается после слов, типа: «следовательно», «значит», «поэтому» и т.п. Либо же перед словами «так, как», «потому что», «ибо» и им подобными.

Например, возьмем знаменитую энтимему: «Юпитер, ты сердишься, значит, ты не прав». Определим в ней заключение, оно стоит после слова «значит». Определяем в заключении больший и меньший термины — «не прав» и «Юпитер (ты)». Поскольку «Юпитер» — это меньший термин, значит, в энтимеме имеется меньшая посылка — «Юпитер, ты сердишься», и пропущена большая посылка. Восстановим ее — «Все, кто сердятся, не правы» — и получим:

Все, кто сердятся, не правы

Юпитер, ты сердишься

------------------------------------

Юпитер, ты не прав

Сложным категорическим силлогизмом, или полисиллогизмом называется умозаключение, состоящее из двух или большего числа простых категорических силлогизмов, в котором заключение предшествующего ПКС становится одной из посылок следующего за ним ПКС, например:

Б.п.1 Всякое общественно опасное деяние наказуемо

М.п.1 Преступление — общественно опасное деяние

-------------------------------------------------------------------------

З.1, б.п.2 Преступление наказуемо

М.п.2 Склонение к употреблению наркотиков — преступление

--------------------------------------------------------------------------

З.2 Склонение к употреблению наркотиков наказуемо

Простой категорический силлогизм, который предшествует другому с составе полисиллогизма, называется просиллогизмом в отношении этого другого. ПКС, следующий за другим, является по отношению к нему эписиллогизмом.

Полисиллогизмы, в которых заключения просиллогизмов становятся большими посылками эписиллогизмов, называются прогрессивными полисиллогизмами. Полисиллогизмы, заключения которых становятся меньшими посылками эписиллогизмов, называются регрессивными.

Сложные категорические силлогизмы, как и простые, могут иметь сокращенные формы, называемые сложно-сокращенными полисиллогизмами. Среди сокращенных полисиллогизмов, в свою очередь, различают т.н. сориты и эпихейремы.

Сориты — сложносокращенные категорические силлогизмы, в которых регулярно пропускается суждение, занимающее определенное положение в составе полисиллогизма в его восстановленной полной форме. Например, преобразуем приведенный выше полный полисиллогизм в сокращенный:

Б.п.1 Всякое общественно опасное деяние наказуемо

М.п.1 Преступление — общественно опасное деяние

-------------------------------------------------------------------------

М.п.2 Склонение к употреблению наркотиков — преступление

--------------------------------------------------------------------------

З.2 Склонение к употреблению наркотиков наказуемо

Из примера видно, что в нем пропущено суждение «Преступление наказуемо», которое в полной форме занимает место заключения просиллогизма и большей посылки эписиллогизма (З.1, б.п.2).

Эпихейрема — это сложносокращенный категорический силлогизм, у которого имеется две посылки, каждая из которых, в свою очередь, является энтимемой, т.е. простым сокращенным силлогизмом, а итоговое заключение непосредствен вытекает из заключений энтимем.

Пример:

1-я п. Ложь заслуживает презрения, т. к. она безнравственна

--------------------------------------------------------------------------------

2-я п. Лесть есть ложь, т.к. она есть умышленное искажение истины

--------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------

Лесть заслуживает презрения.

Восстановим эпихейрему, для чего нам нужно восстановить каждую из энтимем, заключенных в посылках.

1-й ПКС:

Все безнравственное заслуживает презрения

Ложь безнравственна

----------------------------------------------------------

Ложь заслуживает презрения

2-й ПКС:

Всякое умышленное искажение истины есть ложь

Лесть есть умышленное искажение истины

-----------------------------------------------------------------

Лесть есть ложь

------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------

Итоговое

Заключение:

Ложь заслуживает презрения

Простой категорический силлогизм является основной формой наших опосредованных рассуждений, все другие виды умозаключений так или иначе связаны с ним. Это проявляется в частности в том, что основной теорией вывода в современной формальной логике является исчисление предикатов, которое было построено как прямое следствие разработки теории простых категорических суждений. В то же время можно говорить и о некоторых других видах умозаключений, основанных также на простых суждениях, в частности об умозаключениях из суждений с отношениями.

Умозаключения из суждений с отношениями — это умозаключения, в которых все посылки и заключение являются релятивными суждениями, а вывод строится на основе знания свойств отношений. Подобные умозаключения имеют место везде, но особенно распространены в математике и логике, имеющих дело с различными формальными отношениями, а также при системном подходе к предметам.

Существует большое разнообразие отношений, как по качеству, так и по количественному составу. Рассмотрим некоторые особенности данных умозаключений на примере умозаключений из суждений с двуместными отношениями. Двуместными отношениями являются отношения, в которых находятся два предмета (пара). В общем же случае говорят и т.н. n-местных отношениях, где n может равняться любому натуральному числу, начиная с числа 2.

Умозаключения из суждений с двуместными отношениями строятся с учетом свойств двуместных отношений, таких как: рефлексивность, симметричность и транзитивность.

1) Двуместное отношение называется рефлексивным, если для любого предмета из определенной области верно, что это отношение применимо к каждому отдельно взятому предмету из этой области. Это свойство двуместных отношений можно представить в следующем виде:

(а R а)

где а обозначает произвольный предмет из некоторой области, а R — двуместное отношение, которое выполняется для предмета а. Если отношение не обладает данным свойством, то его называют нерефлексивным.

Например, отношение «ровесник» рефлексивно, т.к. любой человек и вообще любой предмет, взяты в один и тот же момент времени, является ровесником самого себя.

2) Двуместное отношение называется симметричным, если для любых двух предметов из некоторой области отношение сохраняется при перестановки их местами. Это свойство можно изобразить так:

(а R b) = (b R a)

Симметричными отношениями являются отношения родства, равенства, параллельности и др. Примерами несимметричных отношений будут отношения «больше», «старше», «севернее» и многие другие.

3) Отношение называется транзитивным, если для любых трех предметов выполняется требование: если это отношение имеет место между первым и вторым предметами, а также между вторым и третьим предметом, то оно имеет место (выполняется) между первым и третьим предметами. Транзитивность называется также переходностью. Данное свойство может быть выражено так: